Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15597 / 19027
↖ ↑ ↗
← S 27.868217°
W  8.646240°		 ← 1 079.96 m → S 27.868217°
W  8.635254°		 →
↑
1 079.88 m
↓
↑
1 079.88 m
↓
S 27.877928°
W  8.646240°		 ← 1 079.86 m →
1 166 179 m²		 S 27.877928°
W  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475997924804688 y=0.580673217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475997924804688 × 215)
    floor (0.475997924804688 × 32768)
    floor (15597.5)     		tx = 15597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580673217773438 × 215)
    floor (0.580673217773438 × 32768)
    floor (19027.5)     		ty = 19027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15597 / 19027 ti = "15/15597/19027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15597/19027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15597 ÷ 215
    15597 ÷ 32768     		x = 0.475982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19027 ÷ 215
    19027 ÷ 32768     		y = 0.580657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.04803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15090536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506788902783234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15090536} λ = -0.15090536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506788902783234))-π/2
    2×atan(0.602426927709069)-π/2
    2×0.542202095418155-π/2
    1.08440419083631-1.57079632675     		φ = -0.48639214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15090536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48639214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.868217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15597 KachelY 19027 -0.15090536 -0.48639214 -8.646240 -27.868217
    Oben rechts KachelX + 1 15598 KachelY 19027 -0.15071361 -0.48639214 -8.635254 -27.868217
    Unten links KachelX 15597 KachelY + 1 19028 -0.15090536 -0.48656164 -8.646240 -27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 15598 KachelY + 1 19028 -0.15071361 -0.48656164 -8.635254 -27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48639214--0.48656164) × R
    0.000169500000000045 × 6371000     		dl = 1079.88450000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48639214--0.48656164) × R
    0.000169500000000045 × 6371000     		dr = 1079.88450000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15090536--0.15071361) × cos(-0.48639214) × R
    0.000191749999999991 × 0.884025064738971 × 6371000     		do = 1079.95971706886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15090536--0.15071361) × cos(-0.48656164) × R
    0.000191749999999991 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 1079.86290986223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48639214)-sin(-0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884025064738971-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.15071361--0.15090536)×7.92436937750995e-05×R²
    0.000191749999999991×7.92436937750995e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.92436937750995e-05×40589641000000     		ar = 1166179.49157875m²