Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15597 / 10035
↖ ↑ ↗
← N 57.022794°
W  8.646240°		 ← 664.94 m → N 57.022794°
W  8.635254°		 →
↑
665 m
↓
↑
665 m
↓
N 57.016814°
W  8.646240°		 ← 665.05 m →
442 227 m²		 N 57.016814°
W  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475997924804688 y=0.306259155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475997924804688 × 215)
    floor (0.475997924804688 × 32768)
    floor (15597.5)     		tx = 15597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306259155273438 × 215)
    floor (0.306259155273438 × 32768)
    floor (10035.5)     		ty = 10035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15597 / 10035 ti = "15/15597/10035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15597/10035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15597 ÷ 215
    15597 ÷ 32768     		x = 0.475982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10035 ÷ 215
    10035 ÷ 32768     		y = 0.306243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.04803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15090536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306243896484375 × 2 - 1) × π
    0.38751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21740550275095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15090536} λ = -0.15090536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21740550275095))-π/2
    2×atan(3.37841107479629)-π/2
    2×1.28301591900617-π/2
    2.56603183801234-1.57079632675     		φ = 0.99523551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15090536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99523551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.022794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15597 KachelY 10035 -0.15090536 0.99523551 -8.646240 57.022794
    Oben rechts KachelX + 1 15598 KachelY 10035 -0.15071361 0.99523551 -8.635254 57.022794
    Unten links KachelX 15597 KachelY + 1 10036 -0.15090536 0.99513113 -8.646240 57.016814
    Unten rechts KachelX + 1 15598 KachelY + 1 10036 -0.15071361 0.99513113 -8.635254 57.016814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99523551-0.99513113) × R
    0.000104380000000015 × 6371000     		dl = 665.004980000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99523551-0.99513113) × R
    0.000104380000000015 × 6371000     		dr = 665.004980000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15090536--0.15071361) × cos(0.99523551) × R
    0.000191749999999991 × 0.544305338274091 × 6371000     		do = 664.944765220124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15090536--0.15071361) × cos(0.99513113) × R
    0.000191749999999991 × 0.544392898352499 × 6371000     		du = 665.051732048641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99523551)-sin(0.99513113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544305338274091-0.544392898352499)×R²
    abs(-0.15071361--0.15090536)×8.75600784088215e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75600784088215e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75600784088215e-05×40589641000000     		ar = 442227.147435063m²