Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15596 / 21436
↖ ↑ ↗
← N 76.229523°
W137.164307°		 ← 72.70 m → N 76.229523°
W137.161560°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.228869°
W137.164307°		 ← 72.70 m →
5 285 m²		 N 76.228869°
W137.161560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118991851806641 y=0.163547515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118991851806641 × 217)
    floor (0.118991851806641 × 131072)
    floor (15596.5)     		tx = 15596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163547515869141 × 217)
    floor (0.163547515869141 × 131072)
    floor (21436.5)     		ty = 21436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15596 / 21436 ti = "17/15596/21436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15596/21436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15596 ÷ 217
    15596 ÷ 131072     		x = 0.118988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21436 ÷ 217
    21436 ÷ 131072     		y = 0.163543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.76202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39396877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163543701171875 × 2 - 1) × π
    0.67291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11401727324448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39396877} λ = -2.39396877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11401727324448))-π/2
    2×atan(8.28144336992524)-π/2
    2×1.45062624307369-π/2
    2.90125248614738-1.57079632675     		φ = 1.33045616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39396877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.164307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33045616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.229523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15596 KachelY 21436 -2.39396877 1.33045616 -137.164307 76.229523
    Oben rechts KachelX + 1 15597 KachelY 21436 -2.39392083 1.33045616 -137.161560 76.229523
    Unten links KachelX 15596 KachelY + 1 21437 -2.39396877 1.33044475 -137.164307 76.228869
    Unten rechts KachelX + 1 15597 KachelY + 1 21437 -2.39392083 1.33044475 -137.161560 76.228869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33045616-1.33044475) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dl = 72.6931099995793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33045616-1.33044475) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dr = 72.6931099995793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39396877--2.39392083) × cos(1.33045616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238033029593734 × 6371000     		do = 72.7014142080604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39396877--2.39392083) × cos(1.33044475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238044111621295 × 6371000     		du = 72.7047989445289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33045616)-sin(1.33044475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238033029593734-0.238044111621295)×R²
    abs(-2.39392083--2.39396877)×1.10820275610879e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10820275610879e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10820275610879e-05×40589641000000     		ar = 5285.01492364916m²