Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15593 / 9739
↖ ↑ ↗
← N 58.751107°
W  8.690186°		 ← 633.73 m → N 58.751107°
W  8.679199°		 →
↑
633.79 m
↓
↑
633.79 m
↓
N 58.745407°
W  8.690186°		 ← 633.84 m →
401 685 m²		 N 58.745407°
W  8.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475875854492188 y=0.297225952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475875854492188 × 215)
    floor (0.475875854492188 × 32768)
    floor (15593.5)     		tx = 15593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297225952148438 × 215)
    floor (0.297225952148438 × 32768)
    floor (9739.5)     		ty = 9739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15593 / 9739 ti = "15/15593/9739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15593/9739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15593 ÷ 215
    15593 ÷ 32768     		x = 0.475860595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9739 ÷ 215
    9739 ÷ 32768     		y = 0.297210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297210693359375 × 2 - 1) × π
    0.40557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27416279190109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15167235} λ = -0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27416279190109))-π/2
    2×atan(3.57570654613458)-π/2
    2×1.29809828865761-π/2
    2.59619657731522-1.57079632675     		φ = 1.02540025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02540025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.751107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15593 KachelY 9739 -0.15167235 1.02540025 -8.690186 58.751107
    Oben rechts KachelX + 1 15594 KachelY 9739 -0.15148060 1.02540025 -8.679199 58.751107
    Unten links KachelX 15593 KachelY + 1 9740 -0.15167235 1.02530077 -8.690186 58.745407
    Unten rechts KachelX + 1 15594 KachelY + 1 9740 -0.15148060 1.02530077 -8.679199 58.745407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02540025-1.02530077) × R
    9.94799999998186e-05 × 6371000     		dl = 633.787079998844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02540025-1.02530077) × R
    9.94799999998186e-05 × 6371000     		dr = 633.787079998844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15167235--0.15148060) × cos(1.02540025) × R
    0.000191750000000018 × 0.51875674590833 × 6371000     		do = 633.733602003954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15167235--0.15148060) × cos(1.02530077) × R
    0.000191750000000018 × 0.518841790970962 × 6371000     		du = 633.837496390483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02540025)-sin(1.02530077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51875674590833-0.518841790970962)×R²
    abs(-0.15148060--0.15167235)×8.50450626316279e-05×R²
    0.000191750000000018×8.50450626316279e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.50450626316279e-05×40589641000000     		ar = 401685.092902617m²