Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15592 / 9780
↖ ↑ ↗
← N 58.516652°
W  8.701172°		 ← 638 m → N 58.516652°
W  8.690186°		 →
↑
638.06 m
↓
↑
638.06 m
↓
N 58.510914°
W  8.701172°		 ← 638.11 m →
407 114 m²		 N 58.510914°
W  8.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475845336914062 y=0.298477172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475845336914062 × 215)
    floor (0.475845336914062 × 32768)
    floor (15592.5)     		tx = 15592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298477172851562 × 215)
    floor (0.298477172851562 × 32768)
    floor (9780.5)     		ty = 9780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15592 / 9780 ti = "15/15592/9780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15592/9780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15592 ÷ 215
    15592 ÷ 32768     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9780 ÷ 215
    9780 ÷ 32768     		y = 0.2984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2984619140625 × 2 - 1) × π
    0.403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2663011403634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2663011403634))-π/2
    2×atan(3.54770579754862)-π/2
    2×1.29605228395898-π/2
    2.59210456791796-1.57079632675     		φ = 1.02130824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02130824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.516652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15592 KachelY 9780 -0.15186410 1.02130824 -8.701172 58.516652
    Oben rechts KachelX + 1 15593 KachelY 9780 -0.15167235 1.02130824 -8.690186 58.516652
    Unten links KachelX 15592 KachelY + 1 9781 -0.15186410 1.02120809 -8.701172 58.510914
    Unten rechts KachelX + 1 15593 KachelY + 1 9781 -0.15167235 1.02120809 -8.690186 58.510914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02130824-1.02120809) × R
    0.000100149999999966 × 6371000     		dl = 638.05564999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02130824-1.02120809) × R
    0.000100149999999966 × 6371000     		dr = 638.05564999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15167235) × cos(1.02130824) × R
    0.000191749999999991 × 0.52225074190277 × 6371000     		do = 638.002004650012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15167235) × cos(1.02120809) × R
    0.000191749999999991 × 0.522336146400415 × 6371000     		du = 638.106338136462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02130824)-sin(1.02120809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52225074190277-0.522336146400415)×R²
    abs(-0.15167235--0.15186410)×8.54044976448254e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54044976448254e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54044976448254e-05×40589641000000     		ar = 407114.069404001m²