Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15592 / 17224
↖ ↑ ↗
← N 78.729207°
W137.175293°		 ← 59.68 m → N 78.729207°
W137.172547°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.728670°
W137.175293°		 ← 59.68 m →
3 563 m²		 N 78.728670°
W137.172547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118961334228516 y=0.131412506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118961334228516 × 217)
    floor (0.118961334228516 × 131072)
    floor (15592.5)     		tx = 15592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131412506103516 × 217)
    floor (0.131412506103516 × 131072)
    floor (17224.5)     		ty = 17224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15592 / 17224 ti = "17/15592/17224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15592/17224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15592 ÷ 217
    15592 ÷ 131072     		x = 0.11895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17224 ÷ 217
    17224 ÷ 131072     		y = 0.13140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.7620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39416051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13140869140625 × 2 - 1) × π
    0.7371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31592749444415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39416051} λ = -2.39416051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31592749444415))-π/2
    2×atan(10.1343180848066)-π/2
    2×1.47244010183016-π/2
    2.94488020366032-1.57079632675     		φ = 1.37408388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39416051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.175293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37408388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.729207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15592 KachelY 17224 -2.39416051 1.37408388 -137.175293 78.729207
    Oben rechts KachelX + 1 15593 KachelY 17224 -2.39411258 1.37408388 -137.172547 78.729207
    Unten links KachelX 15592 KachelY + 1 17225 -2.39416051 1.37407451 -137.175293 78.728670
    Unten rechts KachelX + 1 15593 KachelY + 1 17225 -2.39411258 1.37407451 -137.172547 78.728670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37408388-1.37407451) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37408388-1.37407451) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39416051--2.39411258) × cos(1.37408388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195446241971098 × 6371000     		do = 59.6818612042023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39416051--2.39411258) × cos(1.37407451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1954554312566 × 6371000     		du = 59.6846672630773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37408388)-sin(1.37407451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195446241971098-0.1954554312566)×R²
    abs(-2.39411258--2.39416051)×9.18928550147635e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.18928550147635e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.18928550147635e-06×40589641000000     		ar = 3562.86825616428m²