Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15591 / 9783
↖ ↑ ↗
← N 58.499435°
W  8.712158°		 ← 638.32 m → N 58.499435°
W  8.701172°		 →
↑
638.37 m
↓
↑
638.37 m
↓
N 58.493694°
W  8.712158°		 ← 638.42 m →
407 517 m²		 N 58.493694°
W  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475814819335938 y=0.298568725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475814819335938 × 215)
    floor (0.475814819335938 × 32768)
    floor (15591.5)     		tx = 15591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298568725585938 × 215)
    floor (0.298568725585938 × 32768)
    floor (9783.5)     		ty = 9783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15591 / 9783 ti = "15/15591/9783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15591/9783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15591 ÷ 215
    15591 ÷ 32768     		x = 0.475799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9783 ÷ 215
    9783 ÷ 32768     		y = 0.298553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298553466796875 × 2 - 1) × π
    0.40289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26572589756796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15205585} λ = -0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26572589756796))-π/2
    2×atan(3.54566559221121)-π/2
    2×1.29590203662333-π/2
    2.59180407324666-1.57079632675     		φ = 1.02100775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02100775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.499435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15591 KachelY 9783 -0.15205585 1.02100775 -8.712158 58.499435
    Oben rechts KachelX + 1 15592 KachelY 9783 -0.15186410 1.02100775 -8.701172 58.499435
    Unten links KachelX 15591 KachelY + 1 9784 -0.15205585 1.02090755 -8.712158 58.493694
    Unten rechts KachelX + 1 15592 KachelY + 1 9784 -0.15186410 1.02090755 -8.701172 58.493694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02100775-1.02090755) × R
    0.000100200000000106 × 6371000     		dl = 638.374200000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02100775-1.02090755) × R
    0.000100200000000106 × 6371000     		dr = 638.374200000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15205585--0.15186410) × cos(1.02100775) × R
    0.000191749999999991 × 0.522506973783119 × 6371000     		do = 638.315027572148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15205585--0.15186410) × cos(1.02090755) × R
    0.000191749999999991 × 0.522592405188104 × 6371000     		du = 638.41939392966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02100775)-sin(1.02090755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522506973783119-0.522592405188104)×R²
    abs(-0.15186410--0.15205585)×8.54314049854032e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54314049854032e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54314049854032e-05×40589641000000     		ar = 407517.157810023m²