Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1559 / 2638
↖ ↑ ↗
← S 45.951150°
W 42.978516°		 ← 6 794.92 m → S 45.951150°
W 42.890625°		 →
↑
6 791.10 m
↓
↑
6 791.10 m
↓
S 46.012224°
W 42.978516°		 ← 6 787.43 m →
46 119 591 m²		 S 46.012224°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3807373046875 y=0.6441650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3807373046875 × 212)
    floor (0.3807373046875 × 4096)
    floor (1559.5)     		tx = 1559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6441650390625 × 212)
    floor (0.6441650390625 × 4096)
    floor (2638.5)     		ty = 2638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1559 / 2638 ti = "12/1559/2638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1559/2638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1559 ÷ 212
    1559 ÷ 4096     		x = 0.380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2638 ÷ 212
    2638 ÷ 4096     		y = 0.64404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75011661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75011661} λ = -0.75011661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90504866482666))-π/2
    2×atan(0.404522198621327)-π/2
    2×0.384398734851678-π/2
    0.768797469703356-1.57079632675     		φ = -0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75011661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1559 KachelY 2638 -0.75011661 -0.80199886 -42.978516 -45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 1560 KachelY 2638 -0.74858262 -0.80199886 -42.890625 -45.951150
    Unten links KachelX 1559 KachelY + 1 2639 -0.75011661 -0.80306480 -42.978516 -46.012224
    Unten rechts KachelX + 1 1560 KachelY + 1 2639 -0.74858262 -0.80306480 -42.890625 -46.012224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80199886--0.80306480) × R
    0.00106594000000004 × 6371000     		dl = 6791.10374000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80199886--0.80306480) × R
    0.00106594000000004 × 6371000     		dr = 6791.10374000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75011661--0.74858262) × cos(-0.80199886) × R
    0.00153398999999999 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 6794.92259274574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75011661--0.74858262) × cos(-0.80306480) × R
    0.00153398999999999 × 0.694504887761444 × 6371000     		du = 6787.43119474334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80199886)-sin(-0.80306480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.694504887761444)×R²
    abs(-0.74858262--0.75011661)×0.000766536319788846×R²
    0.00153398999999999×0.000766536319788846×6371000²
    0.00153398999999999×0.000766536319788846×40589641000000     		ar = 46119591.1689783m²