Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1559 / 1821
↖ ↑ ↗
← N 19.559790°
W 42.978516°		 ← 9 209.07 m → N 19.559790°
W 42.890625°		 →
↑
9 211.38 m
↓
↑
9 211.38 m
↓
N 19.476950°
W 42.978516°		 ← 9 213.79 m →
84 850 059 m²		 N 19.476950°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3807373046875 y=0.4447021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3807373046875 × 212)
    floor (0.3807373046875 × 4096)
    floor (1559.5)     		tx = 1559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4447021484375 × 212)
    floor (0.4447021484375 × 4096)
    floor (1821.5)     		ty = 1821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1559 / 1821 ti = "12/1559/1821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1559/1821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1559 ÷ 212
    1559 ÷ 4096     		x = 0.380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1821 ÷ 212
    1821 ÷ 4096     		y = 0.444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75011661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    0.11083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348213638840088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75011661} λ = -0.75011661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348213638840088))-π/2
    2×atan(1.41653484427697)-π/2
    2×0.956089532833254-π/2
    1.91217906566651-1.57079632675     		φ = 0.34138274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75011661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34138274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.559790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1559 KachelY 1821 -0.75011661 0.34138274 -42.978516 19.559790
    Oben rechts KachelX + 1 1560 KachelY 1821 -0.74858262 0.34138274 -42.890625 19.559790
    Unten links KachelX 1559 KachelY + 1 1822 -0.75011661 0.33993691 -42.978516 19.476950
    Unten rechts KachelX + 1 1560 KachelY + 1 1822 -0.74858262 0.33993691 -42.890625 19.476950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34138274-0.33993691) × R
    0.00144583000000004 × 6371000     		dl = 9211.38293000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34138274-0.33993691) × R
    0.00144583000000004 × 6371000     		dr = 9211.38293000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75011661--0.74858262) × cos(0.34138274) × R
    0.00153398999999999 × 0.942292638474371 × 6371000     		do = 9209.07334370672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75011661--0.74858262) × cos(0.33993691) × R
    0.00153398999999999 × 0.94277570335273 × 6371000     		du = 9213.79436105626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34138274)-sin(0.33993691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942292638474371-0.94277570335273)×R²
    abs(-0.74858262--0.75011661)×0.000483064878358697×R²
    0.00153398999999999×0.000483064878358697×6371000²
    0.00153398999999999×0.000483064878358697×40589641000000     		ar = 84850059.3297063m²