Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1559 / 1574
↖ ↑ ↗
← S 69.037142°
E 94.042969°		 ← 6 992.82 m → S 69.037142°
E 94.218750°		 →
↑
6 982.81 m
↓
↑
6 982.81 m
↓
S 69.099940°
E 94.042969°		 ← 6 972.81 m →
48 759 657 m²		 S 69.099940°
E 94.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761474609375 y=0.768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761474609375 × 211)
    floor (0.761474609375 × 2048)
    floor (1559.5)     		tx = 1559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768798828125 × 211)
    floor (0.768798828125 × 2048)
    floor (1574.5)     		ty = 1574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1559 / 1574 ti = "11/1559/1574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1559/1574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1559 ÷ 211
    1559 ÷ 2048     		x = 0.76123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1574 ÷ 211
    1574 ÷ 2048     		y = 0.7685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76123046875 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64135944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    -0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64135944} λ = 1.64135944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68737886662598))-π/2
    2×atan(0.185003808685605)-π/2
    2×0.182935448879356-π/2
    0.365870897758712-1.57079632675     		φ = -1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64135944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1559 KachelY 1574 1.64135944 -1.20492543 94.042969 -69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 1560 KachelY 1574 1.64442740 -1.20492543 94.218750 -69.037142
    Unten links KachelX 1559 KachelY + 1 1575 1.64135944 -1.20602146 94.042969 -69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 1560 KachelY + 1 1575 1.64442740 -1.20602146 94.218750 -69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20492543--1.20602146) × R
    0.00109603000000003 × 6371000     		dl = 6982.80713000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20492543--1.20602146) × R
    0.00109603000000003 × 6371000     		dr = 6982.80713000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64135944-1.64442740) × cos(-1.20492543) × R
    0.00306796000000009 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 6992.81982688558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64135944-1.64442740) × cos(-1.20602146) × R
    0.00306796000000009 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 6972.81058990076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20492543)-sin(-1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.356738983156393)×R²
    abs(1.64442740-1.64135944)×0.00102370124122375×R²
    0.00306796000000009×0.00102370124122375×6371000²
    0.00306796000000009×0.00102370124122375×40589641000000     		ar = 48759656.7058164m²