Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15589 / 6461
↖ ↑ ↗
← N 73.032213°
W  8.734131°		 ← 356.52 m → N 73.032213°
W  8.723144°		 →
↑
356.52 m
↓
↑
356.52 m
↓
N 73.029006°
W  8.734131°		 ← 356.58 m →
127 117 m²		 N 73.029006°
W  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475753784179688 y=0.197189331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475753784179688 × 215)
    floor (0.475753784179688 × 32768)
    floor (15589.5)     		tx = 15589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197189331054688 × 215)
    floor (0.197189331054688 × 32768)
    floor (6461.5)     		ty = 6461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15589 / 6461 ti = "15/15589/6461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15589/6461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15589 ÷ 215
    15589 ÷ 32768     		x = 0.475738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6461 ÷ 215
    6461 ÷ 32768     		y = 0.197174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.04852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15243934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197174072265625 × 2 - 1) × π
    0.60565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90271141971927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15243934} λ = -0.15243934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90271141971927))-π/2
    2×atan(6.70404730720763)-π/2
    2×1.42272444982002-π/2
    2.84544889964004-1.57079632675     		φ = 1.27465257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15243934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27465257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.032213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15589 KachelY 6461 -0.15243934 1.27465257 -8.734131 73.032213
    Oben rechts KachelX + 1 15590 KachelY 6461 -0.15224759 1.27465257 -8.723144 73.032213
    Unten links KachelX 15589 KachelY + 1 6462 -0.15243934 1.27459661 -8.734131 73.029006
    Unten rechts KachelX + 1 15590 KachelY + 1 6462 -0.15224759 1.27459661 -8.723144 73.029006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27465257-1.27459661) × R
    5.59600000000771e-05 × 6371000     		dl = 356.521160000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27465257-1.27459661) × R
    5.59600000000771e-05 × 6371000     		dr = 356.521160000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15243934--0.15224759) × cos(1.27465257) × R
    0.000191750000000018 × 0.291834008666743 × 6371000     		do = 356.515879472167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15243934--0.15224759) × cos(1.27459661) × R
    0.000191750000000018 × 0.291887532213943 × 6371000     		du = 356.581265938226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27465257)-sin(1.27459661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291834008666743-0.291887532213943)×R²
    abs(-0.15224759--0.15243934)×5.35235471999518e-05×R²
    0.000191750000000018×5.35235471999518e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.35235471999518e-05×40589641000000     		ar = 127117.110770598m²