Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15589 / 21437
↖ ↑ ↗
← N 76.228869°
W137.183533°		 ← 72.70 m → N 76.228869°
W137.180786°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.228215°
W137.183533°		 ← 72.71 m →
5 285 m²		 N 76.228215°
W137.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118938446044922 y=0.163555145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118938446044922 × 217)
    floor (0.118938446044922 × 131072)
    floor (15589.5)     		tx = 15589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163555145263672 × 217)
    floor (0.163555145263672 × 131072)
    floor (21437.5)     		ty = 21437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15589 / 21437 ti = "17/15589/21437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15589/21437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15589 ÷ 217
    15589 ÷ 131072     		x = 0.118934631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21437 ÷ 217
    21437 ÷ 131072     		y = 0.163551330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.762130737304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.39430433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163551330566406 × 2 - 1) × π
    0.672897338867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.11396933634486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39430433} λ = -2.39430433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11396933634486))-π/2
    2×atan(8.28104639272071)-π/2
    2×1.45062053765814-π/2
    2.90124107531627-1.57079632675     		φ = 1.33044475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39430433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.183533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33044475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.228869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15589 KachelY 21437 -2.39430433 1.33044475 -137.183533 76.228869
    Oben rechts KachelX + 1 15590 KachelY 21437 -2.39425639 1.33044475 -137.180786 76.228869
    Unten links KachelX 15589 KachelY + 1 21438 -2.39430433 1.33043334 -137.183533 76.228215
    Unten rechts KachelX + 1 15590 KachelY + 1 21438 -2.39425639 1.33043334 -137.180786 76.228215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33044475-1.33043334) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dl = 72.693110000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33044475-1.33043334) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dr = 72.693110000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.33044475) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.238044111621295 × 6371000     		do = 72.7047989452025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.33043334) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.238055193617866 × 6371000     		du = 72.7081836722058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33044475)-sin(1.33043334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238044111621295-0.238055193617866)×R²
    abs(-2.39425639--2.39430433)×1.10819965707665e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.10819965707665e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.10819965707665e-05×40589641000000     		ar = 5285.26097056154m²