Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15589 / 21427
↖ ↑ ↗
← N 76.235405°
W137.183533°		 ← 72.67 m → N 76.235405°
W137.180786°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.234752°
W137.183533°		 ← 72.67 m →
5 278 m²		 N 76.234752°
W137.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118938446044922 y=0.163478851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118938446044922 × 217)
    floor (0.118938446044922 × 131072)
    floor (15589.5)     		tx = 15589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163478851318359 × 217)
    floor (0.163478851318359 × 131072)
    floor (21427.5)     		ty = 21427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15589 / 21427 ti = "17/15589/21427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15589/21427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15589 ÷ 217
    15589 ÷ 131072     		x = 0.118934631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21427 ÷ 217
    21427 ÷ 131072     		y = 0.163475036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.762130737304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.39430433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163475036621094 × 2 - 1) × π
    0.673049926757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.11444870534106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39430433} λ = -2.39430433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11444870534106))-π/2
    2×atan(8.28501702123955)-π/2
    2×1.45067757986163-π/2
    2.90135515972326-1.57079632675     		φ = 1.33055883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39430433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.183533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33055883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.235405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15589 KachelY 21427 -2.39430433 1.33055883 -137.183533 76.235405
    Oben rechts KachelX + 1 15590 KachelY 21427 -2.39425639 1.33055883 -137.180786 76.235405
    Unten links KachelX 15589 KachelY + 1 21428 -2.39430433 1.33054743 -137.183533 76.234752
    Unten rechts KachelX + 1 15590 KachelY + 1 21428 -2.39425639 1.33054743 -137.180786 76.234752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33055883-1.33054743) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33055883-1.33054743) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.33055883) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.237933309376979 × 6371000     		do = 72.6709570877382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.33054743) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.237944381970547 × 6371000     		du = 72.6743389428227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33055883)-sin(1.33054743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237933309376979-0.237944381970547)×R²
    abs(-2.39425639--2.39430433)×1.10725935686951e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.10725935686951e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.10725935686951e-05×40589641000000     		ar = 5278.17082174722m²