Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15589 / 21425
↖ ↑ ↗
← N 76.236712°
W137.183533°		 ← 72.66 m → N 76.236712°
W137.180786°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.236059°
W137.183533°		 ← 72.67 m →
5 278 m²		 N 76.236059°
W137.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118938446044922 y=0.163463592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118938446044922 × 217)
    floor (0.118938446044922 × 131072)
    floor (15589.5)     		tx = 15589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163463592529297 × 217)
    floor (0.163463592529297 × 131072)
    floor (21425.5)     		ty = 21425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15589 / 21425 ti = "17/15589/21425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15589/21425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15589 ÷ 217
    15589 ÷ 131072     		x = 0.118934631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21425 ÷ 217
    21425 ÷ 131072     		y = 0.163459777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.762130737304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.39430433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163459777832031 × 2 - 1) × π
    0.673080444335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.1145445791403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39430433} λ = -2.39430433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1145445791403))-π/2
    2×atan(8.28581137537641)-π/2
    2×1.45068898511562-π/2
    2.90137797023124-1.57079632675     		φ = 1.33058164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39430433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.183533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33058164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.236712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15589 KachelY 21425 -2.39430433 1.33058164 -137.183533 76.236712
    Oben rechts KachelX + 1 15590 KachelY 21425 -2.39425639 1.33058164 -137.180786 76.236712
    Unten links KachelX 15589 KachelY + 1 21426 -2.39430433 1.33057024 -137.183533 76.236059
    Unten rechts KachelX + 1 15590 KachelY + 1 21426 -2.39425639 1.33057024 -137.180786 76.236059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33058164-1.33057024) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33058164-1.33057024) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.33058164) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.237911154384208 × 6371000     		do = 72.6641903826765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.33057024) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.237922227039646 × 6371000     		du = 72.6675722566575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33058164)-sin(1.33057024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237911154384208-0.237922227039646)×R²
    abs(-2.39425639--2.39430433)×1.10726554380103e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.10726554380103e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.10726554380103e-05×40589641000000     		ar = 5277.67936078593m²