Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15589 / 17268
↖ ↑ ↗
← N 78.705563°
W137.183533°		 ← 59.82 m → N 78.705563°
W137.180786°		 →
↑
59.82 m
↓
↑
59.82 m
↓
N 78.705025°
W137.183533°		 ← 59.82 m →
3 579 m²		 N 78.705025°
W137.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118938446044922 y=0.131748199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118938446044922 × 217)
    floor (0.118938446044922 × 131072)
    floor (15589.5)     		tx = 15589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131748199462891 × 217)
    floor (0.131748199462891 × 131072)
    floor (17268.5)     		ty = 17268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15589 / 17268 ti = "17/15589/17268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15589/17268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15589 ÷ 217
    15589 ÷ 131072     		x = 0.118934631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17268 ÷ 217
    17268 ÷ 131072     		y = 0.131744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.762130737304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.39430433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131744384765625 × 2 - 1) × π
    0.73651123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31381827086087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39430433} λ = -2.39430433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31381827086087))-π/2
    2×atan(10.11296506916)-π/2
    2×1.47223376859003-π/2
    2.94446753718006-1.57079632675     		φ = 1.37367121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39430433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.183533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37367121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.705563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15589 KachelY 17268 -2.39430433 1.37367121 -137.183533 78.705563
    Oben rechts KachelX + 1 15590 KachelY 17268 -2.39425639 1.37367121 -137.180786 78.705563
    Unten links KachelX 15589 KachelY + 1 17269 -2.39430433 1.37366182 -137.183533 78.705025
    Unten rechts KachelX + 1 15590 KachelY + 1 17269 -2.39425639 1.37366182 -137.180786 78.705025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37367121-1.37366182) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dl = 59.8236899999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37367121-1.37366182) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dr = 59.8236899999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.37367121) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.195850936735912 × 6371000     		do = 59.8179172827739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39430433--2.39425639) × cos(1.37366182) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.195860144877515 × 6371000     		du = 59.820729686237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37367121)-sin(1.37366182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195850936735912-0.195860144877515)×R²
    abs(-2.39425639--2.39430433)×9.20814160271233e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.20814160271233e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.20814160271233e-06×40589641000000     		ar = 3578.61266427972m²