Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15587 / 7384
↖ ↑ ↗
← N 69.809309°
W  8.756104°		 ← 421.64 m → N 69.809309°
W  8.745117°		 →
↑
421.70 m
↓
↑
421.70 m
↓
N 69.805517°
W  8.756104°		 ← 421.72 m →
177 822 m²		 N 69.805517°
W  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475692749023438 y=0.225357055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475692749023438 × 215)
    floor (0.475692749023438 × 32768)
    floor (15587.5)     		tx = 15587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225357055664062 × 215)
    floor (0.225357055664062 × 32768)
    floor (7384.5)     		ty = 7384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15587 / 7384 ti = "15/15587/7384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15587/7384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15587 ÷ 215
    15587 ÷ 32768     		x = 0.475677490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7384 ÷ 215
    7384 ÷ 32768     		y = 0.225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225341796875 × 2 - 1) × π
    0.54931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15282284} λ = -0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72572838632202))-π/2
    2×atan(5.61661060245687)-π/2
    2×1.39459930602792-π/2
    2.78919861205584-1.57079632675     		φ = 1.21840229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21840229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.809309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15587 KachelY 7384 -0.15282284 1.21840229 -8.756104 69.809309
    Oben rechts KachelX + 1 15588 KachelY 7384 -0.15263109 1.21840229 -8.745117 69.809309
    Unten links KachelX 15587 KachelY + 1 7385 -0.15282284 1.21833610 -8.756104 69.805517
    Unten rechts KachelX + 1 15588 KachelY + 1 7385 -0.15263109 1.21833610 -8.745117 69.805517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21840229-1.21833610) × R
    6.6190000000077e-05 × 6371000     		dl = 421.696490000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21840229-1.21833610) × R
    6.6190000000077e-05 × 6371000     		dr = 421.696490000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15282284--0.15263109) × cos(1.21840229) × R
    0.000191749999999991 × 0.345145715502044 × 6371000     		do = 421.643553026609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15282284--0.15263109) × cos(1.21833610) × R
    0.000191749999999991 × 0.34520783731164 × 6371000     		du = 421.719443467493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21840229)-sin(1.21833610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345145715502044-0.34520783731164)×R²
    abs(-0.15263109--0.15282284)×6.2121809596305e-05×R²
    0.000191749999999991×6.2121809596305e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.2121809596305e-05×40589641000000     		ar = 177821.607774239m²