Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15586 / 7382
↖ ↑ ↗
← N 69.816891°
W  8.767090°		 ← 421.47 m → N 69.816891°
W  8.756104°		 →
↑
421.51 m
↓
↑
421.51 m
↓
N 69.813100°
W  8.767090°		 ← 421.55 m →
177 668 m²		 N 69.813100°
W  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475662231445312 y=0.225296020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475662231445312 × 215)
    floor (0.475662231445312 × 32768)
    floor (15586.5)     		tx = 15586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225296020507812 × 215)
    floor (0.225296020507812 × 32768)
    floor (7382.5)     		ty = 7382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15586 / 7382 ti = "15/15586/7382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15586/7382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15586 ÷ 215
    15586 ÷ 32768     		x = 0.47564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7382 ÷ 215
    7382 ÷ 32768     		y = 0.22528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.0487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15301458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22528076171875 × 2 - 1) × π
    0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15301458} λ = -0.15301458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72611188151898))-π/2
    2×atan(5.61876495871234)-π/2
    2×1.39466547498187-π/2
    2.78933094996374-1.57079632675     		φ = 1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15301458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15586 KachelY 7382 -0.15301458 1.21853462 -8.767090 69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 15587 KachelY 7382 -0.15282284 1.21853462 -8.756104 69.816891
    Unten links KachelX 15586 KachelY + 1 7383 -0.15301458 1.21846846 -8.767090 69.813100
    Unten rechts KachelX + 1 15587 KachelY + 1 7383 -0.15282284 1.21846846 -8.756104 69.813100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21853462-1.21846846) × R
    6.61600000000373e-05 × 6371000     		dl = 421.505360000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21853462-1.21846846) × R
    6.61600000000373e-05 × 6371000     		dr = 421.505360000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15301458--0.15282284) × cos(1.21853462) × R
    0.000191740000000024 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 421.469842613975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15301458--0.15282284) × cos(1.21846846) × R
    0.000191740000000024 × 0.345083610951763 × 6371000     		du = 421.545698393601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21853462)-sin(1.21846846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.345083610951763)×R²
    abs(-0.15282284--0.15301458)×6.20966752707952e-05×R²
    0.000191740000000024×6.20966752707952e-05×6371000²
    0.000191740000000024×6.20966752707952e-05×40589641000000     		ar = 177667.784614677m²