Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15585 / 6496
↖ ↑ ↗
← N 72.919636°
W  8.778076°		 ← 358.81 m → N 72.919636°
W  8.767090°		 →
↑
358.88 m
↓
↑
358.88 m
↓
N 72.916408°
W  8.778076°		 ← 358.88 m →
128 781 m²		 N 72.916408°
W  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475631713867188 y=0.198257446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475631713867188 × 215)
    floor (0.475631713867188 × 32768)
    floor (15585.5)     		tx = 15585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198257446289062 × 215)
    floor (0.198257446289062 × 32768)
    floor (6496.5)     		ty = 6496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15585 / 6496 ti = "15/15585/6496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15585/6496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15585 ÷ 215
    15585 ÷ 32768     		x = 0.475616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6496 ÷ 215
    6496 ÷ 32768     		y = 0.1982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.04876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15320633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1982421875 × 2 - 1) × π
    0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15320633} λ = -0.15320633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89600025377246))-π/2
    2×atan(6.65920597034362)-π/2
    2×1.42174202750574-π/2
    2.84348405501148-1.57079632675     		φ = 1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15320633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.778076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15585 KachelY 6496 -0.15320633 1.27268773 -8.778076 72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 15586 KachelY 6496 -0.15301458 1.27268773 -8.767090 72.919636
    Unten links KachelX 15585 KachelY + 1 6497 -0.15320633 1.27263140 -8.778076 72.916408
    Unten rechts KachelX + 1 15586 KachelY + 1 6497 -0.15301458 1.27263140 -8.767090 72.916408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27268773-1.27263140) × R
    5.63299999998268e-05 × 6371000     		dl = 358.878429998897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27268773-1.27263140) × R
    5.63299999998268e-05 × 6371000     		dr = 358.878429998897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15320633--0.15301458) × cos(1.27268773) × R
    0.000191749999999991 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 358.811026854788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15320633--0.15301458) × cos(1.27263140) × R
    0.000191749999999991 × 0.293766597671147 × 6371000     		du = 358.876806054014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27268773)-sin(1.27263140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.293766597671147)×R²
    abs(-0.15301458--0.15320633)×5.38450276755253e-05×R²
    0.000191749999999991×5.38450276755253e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.38450276755253e-05×40589641000000     		ar = 128781.34138619m²