Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15585 / 10019
↖ ↑ ↗
← N 57.118350°
W  8.778076°		 ← 663.23 m → N 57.118350°
W  8.767090°		 →
↑
663.28 m
↓
↑
663.28 m
↓
N 57.112385°
W  8.778076°		 ← 663.34 m →
439 949 m²		 N 57.112385°
W  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475631713867188 y=0.305770874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475631713867188 × 215)
    floor (0.475631713867188 × 32768)
    floor (15585.5)     		tx = 15585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305770874023438 × 215)
    floor (0.305770874023438 × 32768)
    floor (10019.5)     		ty = 10019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15585 / 10019 ti = "15/15585/10019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15585/10019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15585 ÷ 215
    15585 ÷ 32768     		x = 0.475616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10019 ÷ 215
    10019 ÷ 32768     		y = 0.305755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.04876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15320633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305755615234375 × 2 - 1) × π
    0.38848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22047346432663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15320633} λ = -0.15320633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22047346432663))-π/2
    2×atan(3.38879182589107)-π/2
    2×1.28384979902114-π/2
    2.56769959804227-1.57079632675     		φ = 0.99690327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15320633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.778076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99690327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.118350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15585 KachelY 10019 -0.15320633 0.99690327 -8.778076 57.118350
    Oben rechts KachelX + 1 15586 KachelY 10019 -0.15301458 0.99690327 -8.767090 57.118350
    Unten links KachelX 15585 KachelY + 1 10020 -0.15320633 0.99679916 -8.778076 57.112385
    Unten rechts KachelX + 1 15586 KachelY + 1 10020 -0.15301458 0.99679916 -8.767090 57.112385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99690327-0.99679916) × R
    0.000104109999999991 × 6371000     		dl = 663.28480999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99690327-0.99679916) × R
    0.000104109999999991 × 6371000     		dr = 663.28480999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15320633--0.15301458) × cos(0.99690327) × R
    0.000191749999999991 × 0.542905519469736 × 6371000     		do = 663.234691625836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15320633--0.15301458) × cos(0.99679916) × R
    0.000191749999999991 × 0.542992947458015 × 6371000     		du = 663.341497087866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99690327)-sin(0.99679916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542905519469736-0.542992947458015)×R²
    abs(-0.15301458--0.15320633)×8.74279882788764e-05×R²
    0.000191749999999991×8.74279882788764e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.74279882788764e-05×40589641000000     		ar = 439948.918037983m²