Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15584 / 10016
↖ ↑ ↗
← N 57.136239°
W  8.789063°		 ← 662.91 m → N 57.136239°
W  8.778076°		 →
↑
662.97 m
↓
↑
662.97 m
↓
N 57.130277°
W  8.789063°		 ← 663.02 m →
439 525 m²		 N 57.130277°
W  8.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475601196289062 y=0.305679321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475601196289062 × 215)
    floor (0.475601196289062 × 32768)
    floor (15584.5)     		tx = 15584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305679321289062 × 215)
    floor (0.305679321289062 × 32768)
    floor (10016.5)     		ty = 10016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15584 / 10016 ti = "15/15584/10016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15584/10016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15584 ÷ 215
    15584 ÷ 32768     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10016 ÷ 215
    10016 ÷ 32768     		y = 0.3056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22104870712207))-π/2
    2×atan(3.39074176476454)-π/2
    2×1.28400591255152-π/2
    2.56801182510305-1.57079632675     		φ = 0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15584 KachelY 10016 -0.15339808 0.99721550 -8.789063 57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 15585 KachelY 10016 -0.15320633 0.99721550 -8.778076 57.136239
    Unten links KachelX 15584 KachelY + 1 10017 -0.15339808 0.99711144 -8.789063 57.130277
    Unten rechts KachelX + 1 15585 KachelY + 1 10017 -0.15320633 0.99711144 -8.778076 57.130277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99721550-0.99711144) × R
    0.000104060000000072 × 6371000     		dl = 662.966260000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99721550-0.99711144) × R
    0.000104060000000072 × 6371000     		dr = 662.966260000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15320633) × cos(0.99721550) × R
    0.000191749999999991 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 662.914334725213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15320633) × cos(0.99711144) × R
    0.000191749999999991 × 0.542730687835983 × 6371000     		du = 663.021110439902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99721550)-sin(0.99711144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.542730687835983)×R²
    abs(-0.15320633--0.15339808)×8.74036379304721e-05×R²
    0.000191749999999991×8.74036379304721e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.74036379304721e-05×40589641000000     		ar = 439525.231938748m²