Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15583 / 19169
↖ ↑ ↗
← S 29.238477°
W  8.800049°		 ← 1 066 m → S 29.238477°
W  8.789063°		 →
↑
1 065.93 m
↓
↑
1 065.93 m
↓
S 29.248063°
W  8.800049°		 ← 1 065.90 m →
1 136 225 m²		 S 29.248063°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475570678710938 y=0.585006713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475570678710938 × 215)
    floor (0.475570678710938 × 32768)
    floor (15583.5)     		tx = 15583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585006713867188 × 215)
    floor (0.585006713867188 × 32768)
    floor (19169.5)     		ty = 19169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15583 / 19169 ti = "15/15583/19169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15583/19169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15583 ÷ 215
    15583 ÷ 32768     		x = 0.475555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19169 ÷ 215
    19169 ÷ 32768     		y = 0.584991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15358983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.16998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.534017061767426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15358983} λ = -0.15358983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534017061767426))-π/2
    2×atan(0.586245249901782)-π/2
    2×0.530244316694927-π/2
    1.06048863338985-1.57079632675     		φ = -0.51030769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15358983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51030769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.238477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15583 KachelY 19169 -0.15358983 -0.51030769 -8.800049 -29.238477
    Oben rechts KachelX + 1 15584 KachelY 19169 -0.15339808 -0.51030769 -8.789063 -29.238477
    Unten links KachelX 15583 KachelY + 1 19170 -0.15358983 -0.51047500 -8.800049 -29.248063
    Unten rechts KachelX + 1 15584 KachelY + 1 19170 -0.15339808 -0.51047500 -8.789063 -29.248063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51030769--0.51047500) × R
    0.000167310000000032 × 6371000     		dl = 1065.9320100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51030769--0.51047500) × R
    0.000167310000000032 × 6371000     		dr = 1065.9320100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15358983--0.15339808) × cos(-0.51030769) × R
    0.000191750000000018 × 0.872594259078299 × 6371000     		do = 1065.99539621482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15358983--0.15339808) × cos(-0.51047500) × R
    0.000191750000000018 × 0.872512525005714 × 6371000     		du = 1065.89554666369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51030769)-sin(-0.51047500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872594259078299-0.872512525005714)×R²
    abs(-0.15339808--0.15358983)×8.1734072584827e-05×R²
    0.000191750000000018×8.1734072584827e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.1734072584827e-05×40589641000000     		ar = 1136225.40157256m²