Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15583 / 18785
↖ ↑ ↗
← S 25.492868°
W  8.800049°		 ← 1 102.70 m → S 25.492868°
W  8.789063°		 →
↑
1 102.63 m
↓
↑
1 102.63 m
↓
S 25.502785°
W  8.800049°		 ← 1 102.61 m →
1 215 818 m²		 S 25.502785°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475570678710938 y=0.573287963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475570678710938 × 215)
    floor (0.475570678710938 × 32768)
    floor (15583.5)     		tx = 15583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573287963867188 × 215)
    floor (0.573287963867188 × 32768)
    floor (18785.5)     		ty = 18785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15583 / 18785 ti = "15/15583/18785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15583/18785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15583 ÷ 215
    15583 ÷ 32768     		x = 0.475555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18785 ÷ 215
    18785 ÷ 32768     		y = 0.573272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15358983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.14654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.460385983951019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15358983} λ = -0.15358983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460385983951019))-π/2
    2×atan(0.631040027170628)-π/2
    2×0.562930919848071-π/2
    1.12586183969614-1.57079632675     		φ = -0.44493449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15358983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44493449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.492868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15583 KachelY 18785 -0.15358983 -0.44493449 -8.800049 -25.492868
    Oben rechts KachelX + 1 15584 KachelY 18785 -0.15339808 -0.44493449 -8.789063 -25.492868
    Unten links KachelX 15583 KachelY + 1 18786 -0.15358983 -0.44510756 -8.800049 -25.502785
    Unten rechts KachelX + 1 15584 KachelY + 1 18786 -0.15339808 -0.44510756 -8.789063 -25.502785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44493449--0.44510756) × R
    0.000173069999999997 × 6371000     		dl = 1102.62896999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44493449--0.44510756) × R
    0.000173069999999997 × 6371000     		dr = 1102.62896999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15358983--0.15339808) × cos(-0.44493449) × R
    0.000191750000000018 × 0.902638862755047 × 6371000     		do = 1102.69906331703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15358983--0.15339808) × cos(-0.44510756) × R
    0.000191750000000018 × 0.902564360125396 × 6371000     		du = 1102.60804798042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44493449)-sin(-0.44510756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902638862755047-0.902564360125396)×R²
    abs(-0.15339808--0.15358983)×7.45026296510298e-05×R²
    0.000191750000000018×7.45026296510298e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.45026296510298e-05×40589641000000     		ar = 1215817.75736674m²