Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15582 / 8498
↖ ↑ ↗
← N 65.136878°
W  8.811035°		 ← 513.61 m → N 65.136878°
W  8.800049°		 →
↑
513.69 m
↓
↑
513.69 m
↓
N 65.132258°
W  8.811035°		 ← 513.70 m →
263 863 m²		 N 65.132258°
W  8.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475540161132812 y=0.259353637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475540161132812 × 215)
    floor (0.475540161132812 × 32768)
    floor (15582.5)     		tx = 15582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259353637695312 × 215)
    floor (0.259353637695312 × 32768)
    floor (8498.5)     		ty = 8498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15582 / 8498 ti = "15/15582/8498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15582/8498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15582 ÷ 215
    15582 ÷ 32768     		x = 0.47552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8498 ÷ 215
    8498 ÷ 32768     		y = 0.25933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25933837890625 × 2 - 1) × π
    0.4813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51212156161505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15378157} λ = -0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51212156161505))-π/2
    2×atan(4.53634472727867)-π/2
    2×1.35382465625449-π/2
    2.70764931250899-1.57079632675     		φ = 1.13685299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13685299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.136878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15582 KachelY 8498 -0.15378157 1.13685299 -8.811035 65.136878
    Oben rechts KachelX + 1 15583 KachelY 8498 -0.15358983 1.13685299 -8.800049 65.136878
    Unten links KachelX 15582 KachelY + 1 8499 -0.15378157 1.13677236 -8.811035 65.132258
    Unten rechts KachelX + 1 15583 KachelY + 1 8499 -0.15358983 1.13677236 -8.800049 65.132258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13685299-1.13677236) × R
    8.0630000000026e-05 × 6371000     		dl = 513.693730000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13685299-1.13677236) × R
    8.0630000000026e-05 × 6371000     		dr = 513.693730000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15378157--0.15358983) × cos(1.13685299) × R
    0.000191739999999996 × 0.420451910079303 × 6371000     		do = 513.613769099145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15378157--0.15358983) × cos(1.13677236) × R
    0.000191739999999996 × 0.420525065506828 × 6371000     		du = 513.703133980027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13685299)-sin(1.13677236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420451910079303-0.420525065506828)×R²
    abs(-0.15358983--0.15378157)×7.31554275244517e-05×R²
    0.000191739999999996×7.31554275244517e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.31554275244517e-05×40589641000000     		ar = 263863.126060574m²