Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15582 / 19022
↖ ↑ ↗
← S 27.819645°
W  8.811035°		 ← 1 080.39 m → S 27.819645°
W  8.800049°		 →
↑
1 080.39 m
↓
↑
1 080.39 m
↓
S 27.829361°
W  8.811035°		 ← 1 080.29 m →
1 167 192 m²		 S 27.829361°
W  8.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475540161132812 y=0.580520629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475540161132812 × 215)
    floor (0.475540161132812 × 32768)
    floor (15582.5)     		tx = 15582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580520629882812 × 215)
    floor (0.580520629882812 × 32768)
    floor (19022.5)     		ty = 19022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15582 / 19022 ti = "15/15582/19022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15582/19022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15582 ÷ 215
    15582 ÷ 32768     		x = 0.47552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19022 ÷ 215
    19022 ÷ 32768     		y = 0.58050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.1610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.505830164790833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15378157} λ = -0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505830164790833))-π/2
    2×atan(0.603004774249764)-π/2
    2×0.542625964548013-π/2
    1.08525192909603-1.57079632675     		φ = -0.48554440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48554440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.819645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15582 KachelY 19022 -0.15378157 -0.48554440 -8.811035 -27.819645
    Oben rechts KachelX + 1 15583 KachelY 19022 -0.15358983 -0.48554440 -8.800049 -27.819645
    Unten links KachelX 15582 KachelY + 1 19023 -0.15378157 -0.48571398 -8.811035 -27.829361
    Unten rechts KachelX + 1 15583 KachelY + 1 19023 -0.15358983 -0.48571398 -8.800049 -27.829361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48554440--0.48571398) × R
    0.000169580000000003 × 6371000     		dl = 1080.39418000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48554440--0.48571398) × R
    0.000169580000000003 × 6371000     		dr = 1080.39418000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15378157--0.15358983) × cos(-0.48554440) × R
    0.000191739999999996 × 0.884421014194026 × 6371000     		do = 1080.38707800139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15378157--0.15358983) × cos(-0.48571398) × R
    0.000191739999999996 × 0.884341860203097 × 6371000     		du = 1080.29038542218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48554440)-sin(-0.48571398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884421014194026-0.884341860203097)×R²
    abs(-0.15358983--0.15378157)×7.91539909285044e-05×R²
    0.000191739999999996×7.91539909285044e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.91539909285044e-05×40589641000000     		ar = 1167191.68096707m²