Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15581 / 8461
↖ ↑ ↗
← N 65.307240°
W  8.822021°		 ← 510.34 m → N 65.307240°
W  8.811035°		 →
↑
510.32 m
↓
↑
510.32 m
↓
N 65.302650°
W  8.822021°		 ← 510.43 m →
260 459 m²		 N 65.302650°
W  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475509643554688 y=0.258224487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475509643554688 × 215)
    floor (0.475509643554688 × 32768)
    floor (15581.5)     		tx = 15581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258224487304688 × 215)
    floor (0.258224487304688 × 32768)
    floor (8461.5)     		ty = 8461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15581 / 8461 ti = "15/15581/8461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15581/8461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15581 ÷ 215
    15581 ÷ 32768     		x = 0.475494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8461 ÷ 215
    8461 ÷ 32768     		y = 0.258209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15397332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258209228515625 × 2 - 1) × π
    0.48358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51921622275882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15397332} λ = -0.15397332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51921622275882))-π/2
    2×atan(4.56864299310025)-π/2
    2×1.3553113458698-π/2
    2.71062269173959-1.57079632675     		φ = 1.13982636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15397332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.822021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13982636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.307240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15581 KachelY 8461 -0.15397332 1.13982636 -8.822021 65.307240
    Oben rechts KachelX + 1 15582 KachelY 8461 -0.15378157 1.13982636 -8.811035 65.307240
    Unten links KachelX 15581 KachelY + 1 8462 -0.15397332 1.13974626 -8.822021 65.302650
    Unten rechts KachelX + 1 15582 KachelY + 1 8462 -0.15378157 1.13974626 -8.811035 65.302650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13982636-1.13974626) × R
    8.01000000001384e-05 × 6371000     		dl = 510.317100000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13982636-1.13974626) × R
    8.01000000001384e-05 × 6371000     		dr = 510.317100000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15397332--0.15378157) × cos(1.13982636) × R
    0.000191749999999991 × 0.417752272782416 × 6371000     		do = 510.342573207681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15397332--0.15378157) × cos(1.13974626) × R
    0.000191749999999991 × 0.417825047175989 × 6371000     		du = 510.431477263265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13982636)-sin(1.13974626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417752272782416-0.417825047175989)×R²
    abs(-0.15378157--0.15397332)×7.27743935727276e-05×R²
    0.000191749999999991×7.27743935727276e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.27743935727276e-05×40589641000000     		ar = 260459.226735782m²