Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15580 / 8476
↖ ↑ ↗
← N 65.238307°
W  8.833008°		 ← 511.68 m → N 65.238307°
W  8.822021°		 →
↑
511.72 m
↓
↑
511.72 m
↓
N 65.233705°
W  8.833008°		 ← 511.77 m →
261 858 m²		 N 65.233705°
W  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475479125976562 y=0.258682250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475479125976562 × 215)
    floor (0.475479125976562 × 32768)
    floor (15580.5)     		tx = 15580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258682250976562 × 215)
    floor (0.258682250976562 × 32768)
    floor (8476.5)     		ty = 8476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15580 / 8476 ti = "15/15580/8476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15580/8476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15580 ÷ 215
    15580 ÷ 32768     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8476 ÷ 215
    8476 ÷ 32768     		y = 0.2586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2586669921875 × 2 - 1) × π
    0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51634000878162))-π/2
    2×atan(4.55552147745576)-π/2
    2×1.35470978790005-π/2
    2.7094195758001-1.57079632675     		φ = 1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15580 KachelY 8476 -0.15416507 1.13862325 -8.833008 65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 15581 KachelY 8476 -0.15397332 1.13862325 -8.822021 65.238307
    Unten links KachelX 15580 KachelY + 1 8477 -0.15416507 1.13854293 -8.833008 65.233705
    Unten rechts KachelX + 1 15581 KachelY + 1 8477 -0.15397332 1.13854293 -8.822021 65.233705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13862325-1.13854293) × R
    8.03199999999116e-05 × 6371000     		dl = 511.718719999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13862325-1.13854293) × R
    8.03199999999116e-05 × 6371000     		dr = 511.718719999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15397332) × cos(1.13862325) × R
    0.000191749999999991 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 511.677575918079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15397332) × cos(1.13854293) × R
    0.000191749999999991 × 0.418918002810526 × 6371000     		du = 511.766674764924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13862325)-sin(1.13854293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.418918002810526)×R²
    abs(-0.15397332--0.15416507)×7.29338442959637e-05×R²
    0.000191749999999991×7.29338442959637e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.29338442959637e-05×40589641000000     		ar = 261857.791116447m²