Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1558 / 1592
↖ ↑ ↗
← S 70.140365°
E 93.867187°		 ← 6 640.10 m → S 70.140365°
E 94.042969°		 →
↑
6 630.49 m
↓
↑
6 630.49 m
↓
S 70.199994°
E 93.867187°		 ← 6 620.96 m →
43 963 687 m²		 S 70.199994°
E 94.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760986328125 y=0.777587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760986328125 × 211)
    floor (0.760986328125 × 2048)
    floor (1558.5)     		tx = 1558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777587890625 × 211)
    floor (0.777587890625 × 2048)
    floor (1592.5)     		ty = 1592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1558 / 1592 ti = "11/1558/1592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1558/1592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1558 ÷ 211
    1558 ÷ 2048     		x = 0.7607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1592 ÷ 211
    1592 ÷ 2048     		y = 0.77734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    0.521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63829148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77734375 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63829148} λ = 1.63829148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74260217498828))-π/2
    2×atan(0.175064259557396)-π/2
    2×0.173308015857985-π/2
    0.34661603171597-1.57079632675     		φ = -1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63829148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1558 KachelY 1592 1.63829148 -1.22418030 93.867187 -70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 1559 KachelY 1592 1.64135944 -1.22418030 94.042969 -70.140365
    Unten links KachelX 1558 KachelY + 1 1593 1.63829148 -1.22522103 93.867187 -70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 1559 KachelY + 1 1593 1.64135944 -1.22522103 94.042969 -70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22418030--1.22522103) × R
    0.00104072999999993 × 6371000     		dl = 6630.49082999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22418030--1.22522103) × R
    0.00104072999999993 × 6371000     		dr = 6630.49082999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63829148-1.64135944) × cos(-1.22418030) × R
    0.00306796000000009 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 6640.10010920302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63829148-1.64135944) × cos(-1.22522103) × R
    0.00306796000000009 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 6620.96422654534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22418030)-sin(-1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.3387380189437)×R²
    abs(1.64135944-1.63829148)×0.000979019182162977×R²
    0.00306796000000009×0.000979019182162977×6371000²
    0.00306796000000009×0.000979019182162977×40589641000000     		ar = 43963686.705264m²