Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15579 / 17225
↖ ↑ ↗
← N 78.728670°
W137.210998°		 ← 59.68 m → N 78.728670°
W137.208252°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.728133°
W137.210998°		 ← 59.69 m →
3 563 m²		 N 78.728133°
W137.208252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118862152099609 y=0.131420135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118862152099609 × 217)
    floor (0.118862152099609 × 131072)
    floor (15579.5)     		tx = 15579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131420135498047 × 217)
    floor (0.131420135498047 × 131072)
    floor (17225.5)     		ty = 17225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15579 / 17225 ti = "17/15579/17225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15579/17225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15579 ÷ 217
    15579 ÷ 131072     		x = 0.118858337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17225 ÷ 217
    17225 ÷ 131072     		y = 0.131416320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118858337402344 × 2 - 1) × π
    -0.762283325195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.39478369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131416320800781 × 2 - 1) × π
    0.737167358398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31587955754453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39478369} λ = -2.39478369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31587955754453))-π/2
    2×atan(10.1338322886617)-π/2
    2×1.47243541717653-π/2
    2.94487083435306-1.57079632675     		φ = 1.37407451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39478369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.210998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37407451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.728670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15579 KachelY 17225 -2.39478369 1.37407451 -137.210998 78.728670
    Oben rechts KachelX + 1 15580 KachelY 17225 -2.39473576 1.37407451 -137.208252 78.728670
    Unten links KachelX 15579 KachelY + 1 17226 -2.39478369 1.37406514 -137.210998 78.728133
    Unten rechts KachelX + 1 15580 KachelY + 1 17226 -2.39473576 1.37406514 -137.208252 78.728133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37407451-1.37406514) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dl = 59.6962700007617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37407451-1.37406514) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dr = 59.6962700007617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39478369--2.39473576) × cos(1.37407451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1954554312566 × 6371000     		do = 59.6846672630773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39478369--2.39473576) × cos(1.37406514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195464620524941 × 6371000     		du = 59.6874733167122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37407451)-sin(1.37406514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1954554312566-0.195464620524941)×R²
    abs(-2.39473576--2.39478369)×9.18926834131417e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.18926834131417e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.18926834131417e-06×40589641000000     		ar = 3563.03576734165m²