Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15578 / 18787
↖ ↑ ↗
← S 25.512700°
W  8.854980°		 ← 1 102.46 m → S 25.512700°
W  8.843994°		 →
↑
1 102.44 m
↓
↑
1 102.44 m
↓
S 25.522615°
W  8.854980°		 ← 1 102.37 m →
1 215 343 m²		 S 25.522615°
W  8.843994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475418090820312 y=0.573348999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475418090820312 × 215)
    floor (0.475418090820312 × 32768)
    floor (15578.5)     		tx = 15578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573348999023438 × 215)
    floor (0.573348999023438 × 32768)
    floor (18787.5)     		ty = 18787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15578 / 18787 ti = "15/15578/18787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15578/18787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15578 ÷ 215
    15578 ÷ 32768     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18787 ÷ 215
    18787 ÷ 32768     		y = 0.573333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.14666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.46076947914798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46076947914798))-π/2
    2×atan(0.630798072748263)-π/2
    2×0.562757855300111-π/2
    1.12551571060022-1.57079632675     		φ = -0.44528062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44528062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.512700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15578 KachelY 18787 -0.15454856 -0.44528062 -8.854980 -25.512700
    Oben rechts KachelX + 1 15579 KachelY 18787 -0.15435682 -0.44528062 -8.843994 -25.512700
    Unten links KachelX 15578 KachelY + 1 18788 -0.15454856 -0.44545366 -8.854980 -25.522615
    Unten rechts KachelX + 1 15579 KachelY + 1 18788 -0.15435682 -0.44545366 -8.843994 -25.522615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44528062--0.44545366) × R
    0.000173039999999958 × 6371000     		dl = 1102.43783999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44528062--0.44545366) × R
    0.000173039999999958 × 6371000     		dr = 1102.43783999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15435682) × cos(-0.44528062) × R
    0.000191739999999996 × 0.902489834768143 × 6371000     		do = 1102.45950725138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15435682) × cos(-0.44545366) × R
    0.000191739999999996 × 0.90241529099888 × 6371000     		du = 1102.36844640619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44528062)-sin(-0.44545366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902489834768143-0.90241529099888)×R²
    abs(-0.15435682--0.15454856)×7.45437692631912e-05×R²
    0.000191739999999996×7.45437692631912e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.45437692631912e-05×40589641000000     		ar = 1215342.88643289m²