Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15577 / 7032
↖ ↑ ↗
← N 71.102543°
W  8.865967°		 ← 395.66 m → N 71.102543°
W  8.854980°		 →
↑
395.70 m
↓
↑
395.70 m
↓
N 71.098984°
W  8.865967°		 ← 395.73 m →
156 578 m²		 N 71.098984°
W  8.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475387573242188 y=0.214614868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475387573242188 × 215)
    floor (0.475387573242188 × 32768)
    floor (15577.5)     		tx = 15577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214614868164062 × 215)
    floor (0.214614868164062 × 32768)
    floor (7032.5)     		ty = 7032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15577 / 7032 ti = "15/15577/7032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15577/7032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15577 ÷ 215
    15577 ÷ 32768     		x = 0.475372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7032 ÷ 215
    7032 ÷ 32768     		y = 0.214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.04925537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15474031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214599609375 × 2 - 1) × π
    0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15474031} λ = -0.15474031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79322354098706))-π/2
    2×atan(6.00879086421178)-π/2
    2×1.40588490208592-π/2
    2.81176980417183-1.57079632675     		φ = 1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15474031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.865967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15577 KachelY 7032 -0.15474031 1.24097348 -8.865967 71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 15578 KachelY 7032 -0.15454856 1.24097348 -8.854980 71.102543
    Unten links KachelX 15577 KachelY + 1 7033 -0.15474031 1.24091137 -8.865967 71.098984
    Unten rechts KachelX + 1 15578 KachelY + 1 7033 -0.15454856 1.24091137 -8.854980 71.098984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24097348-1.24091137) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dl = 395.702810000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24097348-1.24091137) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dr = 395.702810000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15474031--0.15454856) × cos(1.24097348) × R
    0.000191749999999991 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 395.658936027516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15474031--0.15454856) × cos(1.24091137) × R
    0.000191749999999991 × 0.3239341905074 × 6371000     		du = 395.730721540798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24097348)-sin(1.24091137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.3239341905074)×R²
    abs(-0.15454856--0.15474031)×5.87616297381133e-05×R²
    0.000191749999999991×5.87616297381133e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.87616297381133e-05×40589641000000     		ar = 156577.555703543m²