Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15576 / 9896
↖ ↑ ↗
← N 57.844751°
W  8.876953°		 ← 650.17 m → N 57.844751°
W  8.865967°		 →
↑
650.22 m
↓
↑
650.22 m
↓
N 57.838903°
W  8.876953°		 ← 650.28 m →
422 794 m²		 N 57.838903°
W  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475357055664062 y=0.302017211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475357055664062 × 215)
    floor (0.475357055664062 × 32768)
    floor (15576.5)     		tx = 15576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302017211914062 × 215)
    floor (0.302017211914062 × 32768)
    floor (9896.5)     		ty = 9896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15576 / 9896 ti = "15/15576/9896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15576/9896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15576 ÷ 215
    15576 ÷ 32768     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9896 ÷ 215
    9896 ÷ 32768     		y = 0.302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302001953125 × 2 - 1) × π
    0.39599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2440584189397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2440584189397))-π/2
    2×atan(3.46966628873143)-π/2
    2×1.29018884329909-π/2
    2.58037768659818-1.57079632675     		φ = 1.00958136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00958136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.844751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15576 KachelY 9896 -0.15493206 1.00958136 -8.876953 57.844751
    Oben rechts KachelX + 1 15577 KachelY 9896 -0.15474031 1.00958136 -8.865967 57.844751
    Unten links KachelX 15576 KachelY + 1 9897 -0.15493206 1.00947930 -8.876953 57.838903
    Unten rechts KachelX + 1 15577 KachelY + 1 9897 -0.15474031 1.00947930 -8.865967 57.838903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00958136-1.00947930) × R
    0.000102060000000126 × 6371000     		dl = 650.224260000802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00958136-1.00947930) × R
    0.000102060000000126 × 6371000     		dr = 650.224260000802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15474031) × cos(1.00958136) × R
    0.000191750000000018 × 0.532215192440623 × 6371000     		do = 650.17496853183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15474031) × cos(1.00947930) × R
    0.000191750000000018 × 0.532301594594627 × 6371000     		du = 650.280520794446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00958136)-sin(1.00947930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532215192440623-0.532301594594627)×R²
    abs(-0.15474031--0.15493206)×8.64021540042392e-05×R²
    0.000191750000000018×8.64021540042392e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.64021540042392e-05×40589641000000     		ar = 422793.854472879m²