Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15576 / 10077
↖ ↑ ↗
← N 56.770789°
W  8.876953°		 ← 669.45 m → N 56.770789°
W  8.865967°		 →
↑
669.53 m
↓
↑
669.53 m
↓
N 56.764767°
W  8.876953°		 ← 669.55 m →
448 249 m²		 N 56.764767°
W  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475357055664062 y=0.307540893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475357055664062 × 215)
    floor (0.475357055664062 × 32768)
    floor (15576.5)     		tx = 15576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307540893554688 × 215)
    floor (0.307540893554688 × 32768)
    floor (10077.5)     		ty = 10077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15576 / 10077 ti = "15/15576/10077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15576/10077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15576 ÷ 215
    15576 ÷ 32768     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10077 ÷ 215
    10077 ÷ 32768     		y = 0.307525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307525634765625 × 2 - 1) × π
    0.38494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20935210361478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20935210361478))-π/2
    2×atan(3.35131264565842)-π/2
    2×1.28081675168923-π/2
    2.56163350337846-1.57079632675     		φ = 0.99083718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99083718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.770789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15576 KachelY 10077 -0.15493206 0.99083718 -8.876953 56.770789
    Oben rechts KachelX + 1 15577 KachelY 10077 -0.15474031 0.99083718 -8.865967 56.770789
    Unten links KachelX 15576 KachelY + 1 10078 -0.15493206 0.99073209 -8.876953 56.764767
    Unten rechts KachelX + 1 15577 KachelY + 1 10078 -0.15474031 0.99073209 -8.865967 56.764767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99083718-0.99073209) × R
    0.00010509000000003 × 6371000     		dl = 669.52839000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99083718-0.99073209) × R
    0.00010509000000003 × 6371000     		dr = 669.52839000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15474031) × cos(0.99083718) × R
    0.000191750000000018 × 0.547989764154363 × 6371000     		do = 669.445804489277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15474031) × cos(0.99073209) × R
    0.000191750000000018 × 0.548077667340844 × 6371000     		du = 669.553190472082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99083718)-sin(0.99073209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547989764154363-0.548077667340844)×R²
    abs(-0.15474031--0.15493206)×8.79031864812196e-05×R²
    0.000191750000000018×8.79031864812196e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.79031864812196e-05×40589641000000     		ar = 448248.921066572m²