Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15575 / 8535
↖ ↑ ↗
← N 64.965415°
W  8.887940°		 ← 516.96 m → N 64.965415°
W  8.876953°		 →
↑
516.94 m
↓
↑
516.94 m
↓
N 64.960766°
W  8.887940°		 ← 517.05 m →
267 260 m²		 N 64.960766°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475326538085938 y=0.260482788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475326538085938 × 215)
    floor (0.475326538085938 × 32768)
    floor (15575.5)     		tx = 15575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260482788085938 × 215)
    floor (0.260482788085938 × 32768)
    floor (8535.5)     		ty = 8535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15575 / 8535 ti = "15/15575/8535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15575/8535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15575 ÷ 215
    15575 ÷ 32768     		x = 0.475311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8535 ÷ 215
    8535 ÷ 32768     		y = 0.260467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260467529296875 × 2 - 1) × π
    0.47906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50502690047128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15512381} λ = -0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50502690047128))-π/2
    2×atan(4.50427479577357)-π/2
    2×1.35232836583641-π/2
    2.70465673167282-1.57079632675     		φ = 1.13386040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13386040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.965415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15575 KachelY 8535 -0.15512381 1.13386040 -8.887940 64.965415
    Oben rechts KachelX + 1 15576 KachelY 8535 -0.15493206 1.13386040 -8.876953 64.965415
    Unten links KachelX 15575 KachelY + 1 8536 -0.15512381 1.13377926 -8.887940 64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 15576 KachelY + 1 8536 -0.15493206 1.13377926 -8.876953 64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13386040-1.13377926) × R
    8.11400000000351e-05 × 6371000     		dl = 516.942940000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13386040-1.13377926) × R
    8.11400000000351e-05 × 6371000     		dr = 516.942940000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(1.13386040) × R
    0.000191749999999991 × 0.423165244601043 × 6371000     		do = 516.95527204046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(1.13377926) × R
    0.000191749999999991 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 517.045081715697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13386040)-sin(1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423165244601043-0.423238760309742)×R²
    abs(-0.15493206--0.15512381)×7.35157086986238e-05×R²
    0.000191749999999991×7.35157086986238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.35157086986238e-05×40589641000000     		ar = 267259.591562453m²