Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15575 / 7033
↖ ↑ ↗
← N 71.098984°
W  8.887940°		 ← 395.73 m → N 71.098984°
W  8.876953°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
N 71.095425°
W  8.887940°		 ← 395.80 m →
156 631 m²		 N 71.095425°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475326538085938 y=0.214645385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475326538085938 × 215)
    floor (0.475326538085938 × 32768)
    floor (15575.5)     		tx = 15575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214645385742188 × 215)
    floor (0.214645385742188 × 32768)
    floor (7033.5)     		ty = 7033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15575 / 7033 ti = "15/15575/7033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15575/7033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15575 ÷ 215
    15575 ÷ 32768     		x = 0.475311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7033 ÷ 215
    7033 ÷ 32768     		y = 0.214630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214630126953125 × 2 - 1) × π
    0.57073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79303179338858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15512381} λ = -0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79303179338858))-π/2
    2×atan(6.00763880344977)-π/2
    2×1.40585384810115-π/2
    2.8117076962023-1.57079632675     		φ = 1.24091137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24091137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.098984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15575 KachelY 7033 -0.15512381 1.24091137 -8.887940 71.098984
    Oben rechts KachelX + 1 15576 KachelY 7033 -0.15493206 1.24091137 -8.876953 71.098984
    Unten links KachelX 15575 KachelY + 1 7034 -0.15512381 1.24084925 -8.887940 71.095425
    Unten rechts KachelX + 1 15576 KachelY + 1 7034 -0.15493206 1.24084925 -8.876953 71.095425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24091137-1.24084925) × R
    6.21200000001654e-05 × 6371000     		dl = 395.766520001054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24091137-1.24084925) × R
    6.21200000001654e-05 × 6371000     		dr = 395.766520001054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(1.24091137) × R
    0.000191749999999991 × 0.3239341905074 × 6371000     		do = 395.730721540798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(1.24084925) × R
    0.000191749999999991 × 0.323992960348108 × 6371000     		du = 395.802517084923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24091137)-sin(1.24084925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3239341905074-0.323992960348108)×R²
    abs(-0.15493206--0.15512381)×5.87698407077952e-05×R²
    0.000191749999999991×5.87698407077952e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.87698407077952e-05×40589641000000     		ar = 156631.177707995m²