Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15575 / 6361
↖ ↑ ↗
← N 73.349907°
W  8.887940°		 ← 350.03 m → N 73.349907°
W  8.876953°		 →
↑
350.09 m
↓
↑
350.09 m
↓
N 73.346759°
W  8.887940°		 ← 350.10 m →
122 553 m²		 N 73.346759°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475326538085938 y=0.194137573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475326538085938 × 215)
    floor (0.475326538085938 × 32768)
    floor (15575.5)     		tx = 15575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194137573242188 × 215)
    floor (0.194137573242188 × 32768)
    floor (6361.5)     		ty = 6361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15575 / 6361 ti = "15/15575/6361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15575/6361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15575 ÷ 215
    15575 ÷ 32768     		x = 0.475311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6361 ÷ 215
    6361 ÷ 32768     		y = 0.194122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194122314453125 × 2 - 1) × π
    0.61175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92188617956729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15512381} λ = -0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92188617956729))-π/2
    2×atan(6.83383616278816)-π/2
    2×1.42549685812563-π/2
    2.85099371625126-1.57079632675     		φ = 1.28019739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28019739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.349907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15575 KachelY 6361 -0.15512381 1.28019739 -8.887940 73.349907
    Oben rechts KachelX + 1 15576 KachelY 6361 -0.15493206 1.28019739 -8.876953 73.349907
    Unten links KachelX 15575 KachelY + 1 6362 -0.15512381 1.28014244 -8.887940 73.346759
    Unten rechts KachelX + 1 15576 KachelY + 1 6362 -0.15493206 1.28014244 -8.876953 73.346759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28019739-1.28014244) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dl = 350.086449999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28019739-1.28014244) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dr = 350.086449999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(1.28019739) × R
    0.000191749999999991 × 0.286526101296906 × 6371000     		do = 350.031531493758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(1.28014244) × R
    0.000191749999999991 × 0.286578746944673 × 6371000     		du = 350.095845483413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28019739)-sin(1.28014244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286526101296906-0.286578746944673)×R²
    abs(-0.15493206--0.15512381)×5.26456477672466e-05×R²
    0.000191749999999991×5.26456477672466e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.26456477672466e-05×40589641000000     		ar = 122552.554007874m²