Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15575 / 3376
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
E162.224121°		 ← 752 m → N 72.073911°
E162.246094°		 →
↑
752.16 m
↓
↑
752.16 m
↓
N 72.067147°
E162.224121°		 ← 752.27 m →
565 725 m²		 N 72.067147°
E162.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950653076171875 y=0.206085205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950653076171875 × 214)
    floor (0.950653076171875 × 16384)
    floor (15575.5)     		tx = 15575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206085205078125 × 214)
    floor (0.206085205078125 × 16384)
    floor (3376.5)     		ty = 3376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15575 / 3376 ti = "14/15575/3376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15575/3376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15575 ÷ 214
    15575 ÷ 16384     		x = 0.95062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3376 ÷ 214
    3376 ÷ 16384     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95062255859375 × 2 - 1) × π
    0.9012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.83134504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83134504} λ = 2.83134504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83134504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.224121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15575 KachelY 3376 2.83134504 1.25792706 162.224121 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 15576 KachelY 3376 2.83172853 1.25792706 162.246094 72.073911
    Unten links KachelX 15575 KachelY + 1 3377 2.83134504 1.25780900 162.224121 72.067147
    Unten rechts KachelX + 1 15576 KachelY + 1 3377 2.83172853 1.25780900 162.246094 72.067147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25780900) × R
    0.000118060000000142 × 6371000     		dl = 752.160260000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25780900) × R
    0.000118060000000142 × 6371000     		dr = 752.160260000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83134504-2.83172853) × cos(1.25792706) × R
    0.000383489999999931 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 751.996777396676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83134504-2.83172853) × cos(1.25780900) × R
    0.000383489999999931 × 0.307902202613888 × 6371000     		du = 752.271215299692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25780900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.307902202613888)×R²
    abs(2.83172853-2.83134504)×0.000112326556035713×R²
    0.000383489999999931×0.000112326556035713×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112326556035713×40589641000000     		ar = 565725.302905605m²