Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15575 / 18779
↖ ↑ ↗
← S 25.433354°
W  8.887940°		 ← 1 103.24 m → S 25.433354°
W  8.876953°		 →
↑
1 103.14 m
↓
↑
1 103.14 m
↓
S 25.443274°
W  8.887940°		 ← 1 103.15 m →
1 216 982 m²		 S 25.443274°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475326538085938 y=0.573104858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475326538085938 × 215)
    floor (0.475326538085938 × 32768)
    floor (15575.5)     		tx = 15575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573104858398438 × 215)
    floor (0.573104858398438 × 32768)
    floor (18779.5)     		ty = 18779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15575 / 18779 ti = "15/15575/18779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15575/18779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15575 ÷ 215
    15575 ÷ 32768     		x = 0.475311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18779 ÷ 215
    18779 ÷ 32768     		y = 0.573089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.14617919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.459235498360138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15512381} λ = -0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459235498360138))-π/2
    2×atan(0.631766447417045)-π/2
    2×0.563450284833847-π/2
    1.12690056966769-1.57079632675     		φ = -0.44389576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44389576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.433354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15575 KachelY 18779 -0.15512381 -0.44389576 -8.887940 -25.433354
    Oben rechts KachelX + 1 15576 KachelY 18779 -0.15493206 -0.44389576 -8.876953 -25.433354
    Unten links KachelX 15575 KachelY + 1 18780 -0.15512381 -0.44406891 -8.887940 -25.443274
    Unten rechts KachelX + 1 15576 KachelY + 1 18780 -0.15493206 -0.44406891 -8.876953 -25.443274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44389576--0.44406891) × R
    0.000173150000000011 × 6371000     		dl = 1103.13865000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44389576--0.44406891) × R
    0.000173150000000011 × 6371000     		dr = 1103.13865000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(-0.44389576) × R
    0.000191749999999991 × 0.903085443811991 × 6371000     		do = 1103.24462426434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(-0.44406891) × R
    0.000191749999999991 × 0.903011069116525 × 6371000     		du = 1103.15376521716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44389576)-sin(-0.44406891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903085443811991-0.903011069116525)×R²
    abs(-0.15493206--0.15512381)×7.43746954662283e-05×R²
    0.000191749999999991×7.43746954662283e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.43746954662283e-05×40589641000000     		ar = 1216981.67340801m²