Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15575 / 18775
↖ ↑ ↗
← S 25.393661°
W  8.887940°		 ← 1 103.61 m → S 25.393661°
W  8.876953°		 →
↑
1 103.52 m
↓
↑
1 103.52 m
↓
S 25.403585°
W  8.887940°		 ← 1 103.52 m →
1 217 804 m²		 S 25.403585°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475326538085938 y=0.572982788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475326538085938 × 215)
    floor (0.475326538085938 × 32768)
    floor (15575.5)     		tx = 15575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572982788085938 × 215)
    floor (0.572982788085938 × 32768)
    floor (18775.5)     		ty = 18775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15575 / 18775 ti = "15/15575/18775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15575/18775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15575 ÷ 215
    15575 ÷ 32768     		x = 0.475311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18775 ÷ 215
    18775 ÷ 32768     		y = 0.572967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.14593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458468507966217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15512381} λ = -0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458468507966217))-π/2
    2×atan(0.632251192086905)-π/2
    2×0.563796670782084-π/2
    1.12759334156417-1.57079632675     		φ = -0.44320299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44320299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.393661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15575 KachelY 18775 -0.15512381 -0.44320299 -8.887940 -25.393661
    Oben rechts KachelX + 1 15576 KachelY 18775 -0.15493206 -0.44320299 -8.876953 -25.393661
    Unten links KachelX 15575 KachelY + 1 18776 -0.15512381 -0.44337620 -8.887940 -25.403585
    Unten rechts KachelX + 1 15576 KachelY + 1 18776 -0.15493206 -0.44337620 -8.876953 -25.403585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44320299--0.44337620) × R
    0.000173209999999979 × 6371000     		dl = 1103.52090999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44320299--0.44337620) × R
    0.000173209999999979 × 6371000     		dr = 1103.52090999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(-0.44320299) × R
    0.000191749999999991 × 0.903382744720218 × 6371000     		do = 1103.60781872289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15512381--0.15493206) × cos(-0.44337620) × R
    0.000191749999999991 × 0.903308452626554 × 6371000     		du = 1103.51706058531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44320299)-sin(-0.44337620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903382744720218-0.903308452626554)×R²
    abs(-0.15493206--0.15512381)×7.42920936640523e-05×R²
    0.000191749999999991×7.42920936640523e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.42920936640523e-05×40589641000000     		ar = 1217804.23069341m²