Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15574 / 9778
↖ ↑ ↗
← N 58.528125°
W  8.898926°		 ← 637.76 m → N 58.528125°
W  8.887940°		 →
↑
637.86 m
↓
↑
637.86 m
↓
N 58.522389°
W  8.898926°		 ← 637.86 m →
406 838 m²		 N 58.522389°
W  8.887940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475296020507812 y=0.298416137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475296020507812 × 215)
    floor (0.475296020507812 × 32768)
    floor (15574.5)     		tx = 15574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298416137695312 × 215)
    floor (0.298416137695312 × 32768)
    floor (9778.5)     		ty = 9778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15574 / 9778 ti = "15/15574/9778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15574/9778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15574 ÷ 215
    15574 ÷ 32768     		x = 0.47528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9778 ÷ 215
    9778 ÷ 32768     		y = 0.29840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29840087890625 × 2 - 1) × π
    0.4031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26668463556036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15531555} λ = -0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26668463556036))-π/2
    2×atan(3.54906658659356)-π/2
    2×1.29615240791045-π/2
    2.59230481582089-1.57079632675     		φ = 1.02150849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02150849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.528125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15574 KachelY 9778 -0.15531555 1.02150849 -8.898926 58.528125
    Oben rechts KachelX + 1 15575 KachelY 9778 -0.15512381 1.02150849 -8.887940 58.528125
    Unten links KachelX 15574 KachelY + 1 9779 -0.15531555 1.02140837 -8.898926 58.522389
    Unten rechts KachelX + 1 15575 KachelY + 1 9779 -0.15512381 1.02140837 -8.887940 58.522389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02150849-1.02140837) × R
    0.000100119999999926 × 6371000     		dl = 637.864519999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02150849-1.02140837) × R
    0.000100119999999926 × 6371000     		dr = 637.864519999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15531555--0.15512381) × cos(1.02150849) × R
    0.000191739999999996 × 0.522079959838605 × 6371000     		do = 637.760108863008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15531555--0.15512381) × cos(1.02140837) × R
    0.000191739999999996 × 0.522165349223824 × 6371000     		du = 637.864418447367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02150849)-sin(1.02140837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522079959838605-0.522165349223824)×R²
    abs(-0.15512381--0.15531555)×8.53893852190701e-05×R²
    0.000191739999999996×8.53893852190701e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.53893852190701e-05×40589641000000     		ar = 406837.813746215m²