Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15573 / 8776
↖ ↑ ↗
← N 63.821288°
W  8.909912°		 ← 538.95 m → N 63.821288°
W  8.898926°		 →
↑
538.99 m
↓
↑
538.99 m
↓
N 63.816440°
W  8.909912°		 ← 539.05 m →
290 514 m²		 N 63.816440°
W  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475265502929688 y=0.267837524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475265502929688 × 215)
    floor (0.475265502929688 × 32768)
    floor (15573.5)     		tx = 15573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267837524414062 × 215)
    floor (0.267837524414062 × 32768)
    floor (8776.5)     		ty = 8776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15573 / 8776 ti = "15/15573/8776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15573/8776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15573 ÷ 215
    15573 ÷ 32768     		x = 0.475250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8776 ÷ 215
    8776 ÷ 32768     		y = 0.267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15550730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267822265625 × 2 - 1) × π
    0.46435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45881572923755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15550730} λ = -0.15550730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45881572923755))-π/2
    2×atan(4.30086312472803)-π/2
    2×1.34234396458851-π/2
    2.68468792917702-1.57079632675     		φ = 1.11389160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15550730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.909912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11389160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.821288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15573 KachelY 8776 -0.15550730 1.11389160 -8.909912 63.821288
    Oben rechts KachelX + 1 15574 KachelY 8776 -0.15531555 1.11389160 -8.898926 63.821288
    Unten links KachelX 15573 KachelY + 1 8777 -0.15550730 1.11380700 -8.909912 63.816440
    Unten rechts KachelX + 1 15574 KachelY + 1 8777 -0.15531555 1.11380700 -8.898926 63.816440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11389160-1.11380700) × R
    8.46000000001013e-05 × 6371000     		dl = 538.986600000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11389160-1.11380700) × R
    8.46000000001013e-05 × 6371000     		dr = 538.986600000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15550730--0.15531555) × cos(1.11389160) × R
    0.000191749999999991 × 0.441172457439575 × 6371000     		do = 538.953590027113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15550730--0.15531555) × cos(1.11380700) × R
    0.000191749999999991 × 0.441248377790982 × 6371000     		du = 539.046337308266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11389160)-sin(1.11380700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441172457439575-0.441248377790982)×R²
    abs(-0.15531555--0.15550730)×7.59203514073548e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59203514073548e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59203514073548e-05×40589641000000     		ar = 290513.757991042m²