Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15573 / 8544
↖ ↑ ↗
← N 64.923542°
W  8.909912°		 ← 517.76 m → N 64.923542°
W  8.898926°		 →
↑
517.83 m
↓
↑
517.83 m
↓
N 64.918885°
W  8.909912°		 ← 517.85 m →
268 140 m²		 N 64.918885°
W  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475265502929688 y=0.260757446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475265502929688 × 215)
    floor (0.475265502929688 × 32768)
    floor (15573.5)     		tx = 15573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260757446289062 × 215)
    floor (0.260757446289062 × 32768)
    floor (8544.5)     		ty = 8544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15573 / 8544 ti = "15/15573/8544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15573/8544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15573 ÷ 215
    15573 ÷ 32768     		x = 0.475250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8544 ÷ 215
    8544 ÷ 32768     		y = 0.2607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15550730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15550730} λ = -0.15550730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50330117208496))-π/2
    2×atan(4.49650834421912)-π/2
    2×1.35196294612457-π/2
    2.70392589224915-1.57079632675     		φ = 1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15550730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.909912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15573 KachelY 8544 -0.15550730 1.13312957 -8.909912 64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 15574 KachelY 8544 -0.15531555 1.13312957 -8.898926 64.923542
    Unten links KachelX 15573 KachelY + 1 8545 -0.15550730 1.13304829 -8.909912 64.918885
    Unten rechts KachelX + 1 15574 KachelY + 1 8545 -0.15531555 1.13304829 -8.898926 64.918885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13312957-1.13304829) × R
    8.12799999998504e-05 × 6371000     		dl = 517.834879999047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13312957-1.13304829) × R
    8.12799999998504e-05 × 6371000     		dr = 517.834879999047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15550730--0.15531555) × cos(1.13312957) × R
    0.000191749999999991 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 517.764067221516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15550730--0.15531555) × cos(1.13304829) × R
    0.000191749999999991 × 0.423900919291686 × 6371000     		du = 517.85400111778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13312957)-sin(1.13304829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423900919291686)×R²
    abs(-0.15531555--0.15550730)×7.36173925848238e-05×R²
    0.000191749999999991×7.36173925848238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.36173925848238e-05×40589641000000     		ar = 268139.579219339m²