Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15572 / 8500
↖ ↑ ↗
← N 65.127638°
W  8.920898°		 ← 513.82 m → N 65.127638°
W  8.909912°		 →
↑
513.88 m
↓
↑
513.88 m
↓
N 65.123017°
W  8.920898°		 ← 513.91 m →
264 067 m²		 N 65.123017°
W  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475234985351562 y=0.259414672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475234985351562 × 215)
    floor (0.475234985351562 × 32768)
    floor (15572.5)     		tx = 15572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259414672851562 × 215)
    floor (0.259414672851562 × 32768)
    floor (8500.5)     		ty = 8500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15572 / 8500 ti = "15/15572/8500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15572/8500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15572 ÷ 215
    15572 ÷ 32768     		x = 0.4752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8500 ÷ 215
    8500 ÷ 32768     		y = 0.2593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2593994140625 × 2 - 1) × π
    0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15569905} λ = -0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51173806641809))-π/2
    2×atan(4.53460539439822)-π/2
    2×1.35374402158242-π/2
    2.70748804316485-1.57079632675     		φ = 1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15572 KachelY 8500 -0.15569905 1.13669172 -8.920898 65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 15573 KachelY 8500 -0.15550730 1.13669172 -8.909912 65.127638
    Unten links KachelX 15572 KachelY + 1 8501 -0.15569905 1.13661106 -8.920898 65.123017
    Unten rechts KachelX + 1 15573 KachelY + 1 8501 -0.15550730 1.13661106 -8.909912 65.123017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13669172-1.13661106) × R
    8.06600000000657e-05 × 6371000     		dl = 513.884860000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13669172-1.13661106) × R
    8.06600000000657e-05 × 6371000     		dr = 513.884860000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15569905--0.15550730) × cos(1.13669172) × R
    0.000191750000000018 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 513.819302917051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15569905--0.15550730) × cos(1.13661106) × R
    0.000191750000000018 × 0.420671404448176 × 6371000     		du = 513.908699026565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13669172)-sin(1.13661106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420671404448176)×R²
    abs(-0.15550730--0.15569905)×7.31771752697785e-05×R²
    0.000191750000000018×7.31771752697785e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.31771752697785e-05×40589641000000     		ar = 264066.930341071m²