Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15572 / 10075
↖ ↑ ↗
← N 56.782827°
W  8.920898°		 ← 669.23 m → N 56.782827°
W  8.909912°		 →
↑
669.27 m
↓
↑
669.27 m
↓
N 56.776808°
W  8.920898°		 ← 669.34 m →
447 935 m²		 N 56.776808°
W  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475234985351562 y=0.307479858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475234985351562 × 215)
    floor (0.475234985351562 × 32768)
    floor (15572.5)     		tx = 15572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307479858398438 × 215)
    floor (0.307479858398438 × 32768)
    floor (10075.5)     		ty = 10075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15572 / 10075 ti = "15/15572/10075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15572/10075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15572 ÷ 215
    15572 ÷ 32768     		x = 0.4752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10075 ÷ 215
    10075 ÷ 32768     		y = 0.307464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307464599609375 × 2 - 1) × π
    0.38507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20973559881174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15569905} λ = -0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20973559881174))-π/2
    2×atan(3.35259810442942)-π/2
    2×1.28092181055856-π/2
    2.56184362111712-1.57079632675     		φ = 0.99104729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99104729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.782827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15572 KachelY 10075 -0.15569905 0.99104729 -8.920898 56.782827
    Oben rechts KachelX + 1 15573 KachelY 10075 -0.15550730 0.99104729 -8.909912 56.782827
    Unten links KachelX 15572 KachelY + 1 10076 -0.15569905 0.99094224 -8.920898 56.776808
    Unten rechts KachelX + 1 15573 KachelY + 1 10076 -0.15550730 0.99094224 -8.909912 56.776808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99104729-0.99094224) × R
    0.000105050000000051 × 6371000     		dl = 669.273550000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99104729-0.99094224) × R
    0.000105050000000051 × 6371000     		dr = 669.273550000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15569905--0.15550730) × cos(0.99104729) × R
    0.000191750000000018 × 0.547813998188538 × 6371000     		do = 669.231081886611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15569905--0.15550730) × cos(0.99094224) × R
    0.000191750000000018 × 0.547901880012212 × 6371000     		du = 669.338441771772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99104729)-sin(0.99094224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547813998188538-0.547901880012212)×R²
    abs(-0.15550730--0.15569905)×8.78818236735857e-05×R²
    0.000191750000000018×8.78818236735857e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.78818236735857e-05×40589641000000     		ar = 447934.588922703m²