Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15570 / 9755
↖ ↑ ↗
← N 58.659800°
W  8.942871°		 ← 635.40 m → N 58.659800°
W  8.931885°		 →
↑
635.44 m
↓
↑
635.44 m
↓
N 58.654085°
W  8.942871°		 ← 635.50 m →
403 792 m²		 N 58.654085°
W  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475173950195312 y=0.297714233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475173950195312 × 215)
    floor (0.475173950195312 × 32768)
    floor (15570.5)     		tx = 15570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297714233398438 × 215)
    floor (0.297714233398438 × 32768)
    floor (9755.5)     		ty = 9755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15570 / 9755 ti = "15/15570/9755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15570/9755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15570 ÷ 215
    15570 ÷ 32768     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9755 ÷ 215
    9755 ÷ 32768     		y = 0.297698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297698974609375 × 2 - 1) × π
    0.40460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27109483032541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27109483032541))-π/2
    2×atan(3.56475322661823)-π/2
    2×1.29730148161025-π/2
    2.59460296322049-1.57079632675     		φ = 1.02380664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02380664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.659800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15570 KachelY 9755 -0.15608255 1.02380664 -8.942871 58.659800
    Oben rechts KachelX + 1 15571 KachelY 9755 -0.15589080 1.02380664 -8.931885 58.659800
    Unten links KachelX 15570 KachelY + 1 9756 -0.15608255 1.02370690 -8.942871 58.654085
    Unten rechts KachelX + 1 15571 KachelY + 1 9756 -0.15589080 1.02370690 -8.931885 58.654085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02380664-1.02370690) × R
    9.97400000000148e-05 × 6371000     		dl = 635.443540000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02380664-1.02370690) × R
    9.97400000000148e-05 × 6371000     		dr = 635.443540000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15589080) × cos(1.02380664) × R
    0.000191749999999991 × 0.520118498690008 × 6371000     		do = 635.397172650756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15589080) × cos(1.02370690) × R
    0.000191749999999991 × 0.520203683449229 × 6371000     		du = 635.501237696122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02380664)-sin(1.02370690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520118498690008-0.520203683449229)×R²
    abs(-0.15589080--0.15608255)×8.51847592204802e-05×R²
    0.000191749999999991×8.51847592204802e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.51847592204802e-05×40589641000000     		ar = 403792.092760106m²