Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15570 / 8493
↖ ↑ ↗
← N 65.159964°
W  8.942871°		 ← 513.19 m → N 65.159964°
W  8.931885°		 →
↑
513.18 m
↓
↑
513.18 m
↓
N 65.155349°
W  8.942871°		 ← 513.28 m →
263 386 m²		 N 65.155349°
W  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475173950195312 y=0.259201049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475173950195312 × 215)
    floor (0.475173950195312 × 32768)
    floor (15570.5)     		tx = 15570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259201049804688 × 215)
    floor (0.259201049804688 × 32768)
    floor (8493.5)     		ty = 8493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15570 / 8493 ti = "15/15570/8493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15570/8493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15570 ÷ 215
    15570 ÷ 32768     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8493 ÷ 215
    8493 ÷ 32768     		y = 0.259185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259185791015625 × 2 - 1) × π
    0.48162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51308029960745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51308029960745))-π/2
    2×atan(4.54069597883713)-π/2
    2×1.35402612022383-π/2
    2.70805224044766-1.57079632675     		φ = 1.13725591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13725591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.159964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15570 KachelY 8493 -0.15608255 1.13725591 -8.942871 65.159964
    Oben rechts KachelX + 1 15571 KachelY 8493 -0.15589080 1.13725591 -8.931885 65.159964
    Unten links KachelX 15570 KachelY + 1 8494 -0.15608255 1.13717536 -8.942871 65.155349
    Unten rechts KachelX + 1 15571 KachelY + 1 8494 -0.15589080 1.13717536 -8.931885 65.155349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13725591-1.13717536) × R
    8.0549999999846e-05 × 6371000     		dl = 513.184049999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13725591-1.13717536) × R
    8.0549999999846e-05 × 6371000     		dr = 513.184049999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15589080) × cos(1.13725591) × R
    0.000191749999999991 × 0.420086300670952 × 6371000     		do = 513.193913286911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15589080) × cos(1.13717536) × R
    0.000191749999999991 × 0.420159397157108 × 6371000     		du = 513.283210823436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13725591)-sin(1.13717536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420086300670952-0.420159397157108)×R²
    abs(-0.15589080--0.15608255)×7.30964861559436e-05×R²
    0.000191749999999991×7.30964861559436e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.30964861559436e-05×40589641000000     		ar = 263385.844033837m²