Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1557 / 1823
↖ ↑ ↗
← N 19.394068°
W 43.154297°		 ← 9 218.44 m → N 19.394068°
W 43.066406°		 →
↑
9 220.81 m
↓
↑
9 220.81 m
↓
N 19.311143°
W 43.154297°		 ← 9 223.13 m →
85 023 113 m²		 N 19.311143°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3802490234375 y=0.4451904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3802490234375 × 212)
    floor (0.3802490234375 × 4096)
    floor (1557.5)     		tx = 1557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4451904296875 × 212)
    floor (0.4451904296875 × 4096)
    floor (1823.5)     		ty = 1823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1557 / 1823 ti = "12/1557/1823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1557/1823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1557 ÷ 212
    1557 ÷ 4096     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1823 ÷ 212
    1823 ÷ 4096     		y = 0.445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    0.10986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345145677264404))-π/2
    2×atan(1.41219562947978)-π/2
    2×0.954643333457795-π/2
    1.90928666691559-1.57079632675     		φ = 0.33849034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33849034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.394068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1557 KachelY 1823 -0.75318457 0.33849034 -43.154297 19.394068
    Oben rechts KachelX + 1 1558 KachelY 1823 -0.75165059 0.33849034 -43.066406 19.394068
    Unten links KachelX 1557 KachelY + 1 1824 -0.75318457 0.33704303 -43.154297 19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 1558 KachelY + 1 1824 -0.75165059 0.33704303 -43.066406 19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33849034-0.33704303) × R
    0.00144730999999998 × 6371000     		dl = 9220.81200999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33849034-0.33704303) × R
    0.00144730999999998 × 6371000     		dr = 9220.81200999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75165059) × cos(0.33849034) × R
    0.00153398000000005 × 0.943257043157337 × 6371000     		do = 9218.43842426741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75165059) × cos(0.33704303) × R
    0.00153398000000005 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 9223.12565315555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33849034)-sin(0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943257043157337-0.94373665385257)×R²
    abs(-0.75165059--0.75318457)×0.000479610695233501×R²
    0.00153398000000005×0.000479610695233501×6371000²
    0.00153398000000005×0.000479610695233501×40589641000000     		ar = 85023112.6056813m²