Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15569 / 7229
↖ ↑ ↗
← N 70.388919°
W  8.953857°		 ← 410 m → N 70.388919°
W  8.942871°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
N 70.385231°
W  8.953857°		 ← 410.08 m →
168 158 m²		 N 70.385231°
W  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475143432617188 y=0.220626831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475143432617188 × 215)
    floor (0.475143432617188 × 32768)
    floor (15569.5)     		tx = 15569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220626831054688 × 215)
    floor (0.220626831054688 × 32768)
    floor (7229.5)     		ty = 7229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15569 / 7229 ti = "15/15569/7229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15569/7229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15569 ÷ 215
    15569 ÷ 32768     		x = 0.475128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7229 ÷ 215
    7229 ÷ 32768     		y = 0.220611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.04974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15627429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220611572265625 × 2 - 1) × π
    0.55877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75544926408646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15627429} λ = -0.15627429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75544926408646))-π/2
    2×atan(5.78604662107094)-π/2
    2×1.39965736087806-π/2
    2.79931472175612-1.57079632675     		φ = 1.22851840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15627429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22851840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.388919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15569 KachelY 7229 -0.15627429 1.22851840 -8.953857 70.388919
    Oben rechts KachelX + 1 15570 KachelY 7229 -0.15608255 1.22851840 -8.942871 70.388919
    Unten links KachelX 15569 KachelY + 1 7230 -0.15627429 1.22845403 -8.953857 70.385231
    Unten rechts KachelX + 1 15570 KachelY + 1 7230 -0.15608255 1.22845403 -8.942871 70.385231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22851840-1.22845403) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dl = 410.101270000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22851840-1.22845403) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dr = 410.101270000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15627429--0.15608255) × cos(1.22851840) × R
    0.000191740000000024 × 0.335633751173571 × 6371000     		do = 410.001980832132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15627429--0.15608255) × cos(1.22845403) × R
    0.000191740000000024 × 0.335694386539336 × 6371000     		du = 410.076051511808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22851840)-sin(1.22845403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335633751173571-0.335694386539336)×R²
    abs(-0.15608255--0.15627429)×6.06353657642278e-05×R²
    0.000191740000000024×6.06353657642278e-05×6371000²
    0.000191740000000024×6.06353657642278e-05×40589641000000     		ar = 168157.521340402m²