Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15568 / 7216
↖ ↑ ↗
← N 70.436799°
W  8.964844°		 ← 409.06 m → N 70.436799°
W  8.953857°		 →
↑
409.08 m
↓
↑
409.08 m
↓
N 70.433120°
W  8.964844°		 ← 409.14 m →
167 355 m²		 N 70.433120°
W  8.953857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475112915039062 y=0.220230102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475112915039062 × 215)
    floor (0.475112915039062 × 32768)
    floor (15568.5)     		tx = 15568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220230102539062 × 215)
    floor (0.220230102539062 × 32768)
    floor (7216.5)     		ty = 7216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15568 / 7216 ti = "15/15568/7216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15568/7216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15568 ÷ 215
    15568 ÷ 32768     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7216 ÷ 215
    7216 ÷ 32768     		y = 0.22021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22021484375 × 2 - 1) × π
    0.5595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7579419828667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7579419828667))-π/2
    2×atan(5.8004875993179)-π/2
    2×1.40007519036328-π/2
    2.80015038072656-1.57079632675     		φ = 1.22935405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22935405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.436799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15568 KachelY 7216 -0.15646604 1.22935405 -8.964844 70.436799
    Oben rechts KachelX + 1 15569 KachelY 7216 -0.15627429 1.22935405 -8.953857 70.436799
    Unten links KachelX 15568 KachelY + 1 7217 -0.15646604 1.22928984 -8.964844 70.433120
    Unten rechts KachelX + 1 15569 KachelY + 1 7217 -0.15627429 1.22928984 -8.953857 70.433120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22935405-1.22928984) × R
    6.4209999999898e-05 × 6371000     		dl = 409.08190999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22935405-1.22928984) × R
    6.4209999999898e-05 × 6371000     		dr = 409.08190999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15627429) × cos(1.22935405) × R
    0.000191749999999991 × 0.334846457993195 × 6371000     		do = 409.061575807944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15627429) × cos(1.22928984) × R
    0.000191749999999991 × 0.334906960633234 × 6371000     		du = 409.135488207743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22935405)-sin(1.22928984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334846457993195-0.334906960633234)×R²
    abs(-0.15627429--0.15646604)×6.0502640038429e-05×R²
    0.000191749999999991×6.0502640038429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.0502640038429e-05×40589641000000     		ar = 167354.808908677m²