Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15567 / 7217
↖ ↑ ↗
← N 70.433120°
W  8.975830°		 ← 409.14 m → N 70.433120°
W  8.964844°		 →
↑
409.15 m
↓
↑
409.15 m
↓
N 70.429440°
W  8.975830°		 ← 409.21 m →
167 411 m²		 N 70.429440°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475082397460938 y=0.220260620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475082397460938 × 215)
    floor (0.475082397460938 × 32768)
    floor (15567.5)     		tx = 15567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220260620117188 × 215)
    floor (0.220260620117188 × 32768)
    floor (7217.5)     		ty = 7217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15567 / 7217 ti = "15/15567/7217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15567/7217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15567 ÷ 215
    15567 ÷ 32768     		x = 0.475067138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7217 ÷ 215
    7217 ÷ 32768     		y = 0.220245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.04986572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15665779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220245361328125 × 2 - 1) × π
    0.55950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75775023526822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15665779} λ = -0.15665779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75775023526822))-π/2
    2×atan(5.79937547637757)-π/2
    2×1.40004308446123-π/2
    2.80008616892246-1.57079632675     		φ = 1.22928984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15665779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22928984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.433120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15567 KachelY 7217 -0.15665779 1.22928984 -8.975830 70.433120
    Oben rechts KachelX + 1 15568 KachelY 7217 -0.15646604 1.22928984 -8.964844 70.433120
    Unten links KachelX 15567 KachelY + 1 7218 -0.15665779 1.22922562 -8.975830 70.429440
    Unten rechts KachelX + 1 15568 KachelY + 1 7218 -0.15646604 1.22922562 -8.964844 70.429440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22928984-1.22922562) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dl = 409.145620000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22928984-1.22922562) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dr = 409.145620000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15665779--0.15646604) × cos(1.22928984) × R
    0.000191749999999991 × 0.334906960633234 × 6371000     		do = 409.135488207743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15665779--0.15646604) × cos(1.22922562) × R
    0.000191749999999991 × 0.334967471314773 × 6371000     		du = 409.209410431356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22928984)-sin(1.22922562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334906960633234-0.334967471314773)×R²
    abs(-0.15646604--0.15665779)×6.05106815395051e-05×R²
    0.000191749999999991×6.05106815395051e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.05106815395051e-05×40589641000000     		ar = 167411.115521615m²