Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15567 / 3378
↖ ↑ ↗
← N 72.060381°
E162.048340°		 ← 752.55 m → N 72.060381°
E162.070312°		 →
↑
752.67 m
↓
↑
752.67 m
↓
N 72.053612°
E162.048340°		 ← 752.82 m →
566 522 m²		 N 72.053612°
E162.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950164794921875 y=0.206207275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950164794921875 × 214)
    floor (0.950164794921875 × 16384)
    floor (15567.5)     		tx = 15567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206207275390625 × 214)
    floor (0.206207275390625 × 16384)
    floor (3378.5)     		ty = 3378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15567 / 3378 ti = "14/15567/3378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15567/3378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15567 ÷ 214
    15567 ÷ 16384     		x = 0.95013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3378 ÷ 214
    3378 ÷ 16384     		y = 0.2061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95013427734375 × 2 - 1) × π
    0.9002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82827708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2061767578125 × 2 - 1) × π
    0.587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8461458781676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82827708} λ = 2.82827708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8461458781676))-π/2
    2×atan(6.33535517789548)-π/2
    2×1.41424361450221-π/2
    2.82848722900443-1.57079632675     		φ = 1.25769090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82827708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25769090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.060381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15567 KachelY 3378 2.82827708 1.25769090 162.048340 72.060381
    Oben rechts KachelX + 1 15568 KachelY 3378 2.82866057 1.25769090 162.070312 72.060381
    Unten links KachelX 15567 KachelY + 1 3379 2.82827708 1.25757276 162.048340 72.053612
    Unten rechts KachelX + 1 15568 KachelY + 1 3379 2.82866057 1.25757276 162.070312 72.053612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25769090-1.25757276) × R
    0.0001181400000001 × 6371000     		dl = 752.669940000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25769090-1.25757276) × R
    0.0001181400000001 × 6371000     		dr = 752.669940000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82827708-2.82866057) × cos(1.25769090) × R
    0.000383489999999931 × 0.308014562933598 × 6371000     		do = 752.545735694617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82827708-2.82866057) × cos(1.25757276) × R
    0.000383489999999931 × 0.308126957011052 × 6371000     		du = 752.82033856696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25769090)-sin(1.25757276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308014562933598-0.308126957011052)×R²
    abs(2.82866057-2.82827708)×0.000112394077453504×R²
    0.000383489999999931×0.000112394077453504×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112394077453504×40589641000000     		ar = 566521.897056202m²